[论文解读] Model Structures for Correspondences and Bifibrations

Danny Stevenson|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文在单纯集的背景下建立了双纤维化和对应关系的模型范畴结构，证明了从 ∞-范畴 A 和 B 出发的双纤维化是 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上一个左拟紧致、可组合的模型结构中的纤维对象。此外，本文还构建了对应关系范畴 Corr(A,B) 上的模型结构，并证明了这些结构与协变模型结构之间的多个 Quillen 等价性，将经典纤维化结果推广到了双变情形。

ABSTRACT

We study the notion of a bifibration in simplicial sets which generalizes the classical notion of two-sided discrete fibration studied in category theory. If $A$ and $B$ are simplicial sets we equip the category of simplicial sets over $A imes B$ with the structure of a model category for which the fibrant objects are the bifibrations from $A$ to $B$. We also equip the category of correspondences of simplicial sets from $A$ to $B$ with the structure of a model category. We describe several Quillen equivalences relating these model structure with the covariant model structure on the category of simplicial sets over $B^{\mathrm{op}} imes A$.

研究动机与目标

• 在 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上定义并构造一个模型范畴结构，使得纤维对象恰好是 A 到 B 的双纤维化。
• 在对应关系范畴 Corr(A,B) 上赋予一个左拟紧致、可组合的模型结构，其中纤维对象是总空间为 ∞-范畴的对应关系。
• 在 Corr(A,B) 上的模型结构、(Set_Δ)_{/(A×B)} 上的双变模型结构，以及 (Set_Δ)_{/(B^op × A)} 上的协变模型结构之间建立 Quillen 等价性。

提出的方法

• 在 (Set_Δ)_{/(A×B)} 中引入双变内射映射的概念，以生成双变模型结构中的弱同伦膨胀。
• 通过将纤维化对象定义为双纤维化，并将纤维化对象定义为单射，构建 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上的双变模型结构，利用左拟紧致性和可组合性。
• 将 Corr(A,B) 上的对应关系模型结构定义为从 (Set_Δ)_{/B⋆A} 上的 Joyal 模型结构诱导出的左提升模型结构。
• 通过函子 d* 和 d* 在 Corr(A,B) 与 (Set_Δ)_{/(A×B)} 之间建立 Quillen 伴随关系，并利用纤维化同伦等价性证明 Quillen 等价性。
• 使用函子 Γ: Corr(A,B) → (Set_Δ)_{/(A×B)}，将对应关系映射到其截面空间，并利用其左伴随函子 C，证明第二个 Quillen 等价性。
• 应用 Lurie 和 Joyal 关于左纤维化和右纤维化的结果，将纤维化同伦等价性和可缩纤维判据等性质推广到双变情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上将单纯集中的双纤维化概念形式化为 Quillen 模型范畴结构中的纤维对象？
• RQ2 是否存在一个自然的模型结构在对应关系范畴 Corr(A,B) 上，使得纤维对象是 Δ¹ 上的 ∞-范畴，且指定纤维为 A 和 B？
• RQ3 Corr(A,B) 和 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上的模型结构是否与 (Set_Δ)_{/(B^op × A)} 上的协变模型结构 Quillen 等价？
• RQ4 双变等价性与双纤维化中纤维化同伦等价性之间有何关系？
• RQ5 截面函子 Γ 及其左伴随函子 C 在联系对应关系与双变模型结构中起什么作用？

主要发现

• 范畴 (Set_Δ)_{/(A×B)} 允许一个左拟紧致、可组合的模型结构，其中纤维化为单射，纤维对象恰好是 A 到 B 的双纤维化。
• 从 A 到 B 的对应关系范畴 Corr(A,B) 允许一个左拟紧致、可组合的模型结构，其中纤维化为单射，纤维对象是那些满足 X 为 ∞-范畴的对应关系 X→Δ¹。
• 通过伴随对 (d*, d*) 建立了 Corr(A,B) 上的对应关系模型结构与 (Set_Δ)_{/(A×B)} 上的双变模型结构之间的 Quillen 等价性。
• 双纤维化 X→A×B 与 Y→A×B 之间的双变等价性，等价于对所有 a∈A, b∈B，诱导的纤维映射 X(a,b)→Y(a,b) 是弱同伦等价。
• 双纤维化 X→A×B 是平凡 Kan 纤维化当且仅当其所有纤维 X(a,b) 都是可缩的 Kan 复形。
• 函子对 (C, Γ) 在 (Set_Δ)_{/(A×B)} 与 Corr(A,B) 之间构成 Quillen 等价，从而在双变与对应关系模型结构之间建立了第二个 Quillen 等价性。