[論文レビュー] Modular generalized Springer correspondence: an overview

Pramod N. Achar, Anthony Henderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正標数における再帰的群上の$β$-層および$β = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$または$\mathbb{F}_\ell$を係数とする perverse 層を用いて、正標数における再帰的群上のモジュラー特性層の理論を構築することで、ルシュティグの一般化されたスプリンガー対応のモジュラー一般化を提示する。特に、やや良い標数において、モジュラー誘導系列が特徴的ゼロの誘導系列を精査し、特徴的ゼロのカスピダル対のモジュラー還元から得られるカスピダル対についてクリーニング性を証明する。

ABSTRACT

This is an overview of our series of papers on the modular generalized Springer correspondence. It is an expansion of a lecture given by the second author in the Fifth Conference of the Tsinghua Sanya International Mathematics Forum, Sanya, December 2014, as part of the Master Lecture `Algebraic Groups and their Representations' Workshop honouring G. Lusztig. The material that has not appeared in print before includes some discussion of the motivating idea of modular character sheaves, and heuristic remarks about geometric functors of parabolic induction and restriction.

研究の動機と目的

• 有限再帰的群のモジュラー表現を模倣することで、ルシュティグの一般化されたスプリンガー対応のモジュラー類似を構築すること。
• Lusztigの特徴的ゼロ理論を一般化する形で、$\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$を$\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$の部分カテゴリとして定義すること。
• 特に悪い標数およびやや良い標数におけるカスピダル対の振る舞いを理解すること。
• ルシュティグ理論において重要なクリーニング性が、モジュラー還元によるカスピダル対に対しても成り立つかを検討すること。
• 有限再帰的群の分解行列の幾何的解釈をモジュラー・スプリンガー理論を用いて確立すること。

提案手法

• 係数体$\Bbbk = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$または$\mathbb{F}_\ell$を用いて、$\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$を$\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$のフル部分カテゴリとして定義する。
• 等変導来カテゴリの Bernstein–Lunts 理論を用いて$D^b_G(G,\Bbbk)$を定義し、$\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$を$\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$のフル部分カテゴリとして構成する。
• パラボリック誘導および制限の幾何的関手を用いて、モジュラー誘導系列と特徴的ゼロの誘導系列との関係を確立する。
• nilpotent cone $\mathscr{N}_G$ を中心にモジュラー・スプリンガー対応を研究し、nilpotent 軌道に台を持つ$\Bbbk$-層に注目する。
• パリティ層と分解定理の失敗を用いて、正標数における非単純構造を分析する。
• 一般原理（[AHJR5, Lemma 2.5]）を用いて、Mautnerのクリーニング性に関する予想を、低ランクおよび例外型群に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数体$\Bbbk = \mathbb{F}_\ell$を用いた$\Bbbk$-層を用いて、ルシュティグの一般化されたスプリンガー対応のモジュラー一般化を定式化できるか？
• RQ2 モジュラー・スプリンガー対応の誘導系列は、特徴的ゼロのそれとどのように関係するか？
• RQ3 クリーニング性—$\mathcal{IC}(\mathscr{O},\mathcal{E})|_{\overline{\mathscr{O}}\setminus\mathscr{O}} = 0$—は、モジュラー設定におけるカスピダル対に対しても成り立つか？
• RQ4 特に$G$が型$B$、$C$、$D$で$\ell = 2$のとき、悪い標数におけるカスピダル対の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 $D^b_G(\mathscr{N}_G,\Bbbk)$は、特徴的ゼロの誘導系列によって誘導される直交分解を許容するか？

主な発見

• やや良い標数において、モジュラー誘導系列は特徴的ゼロの誘導系列を精査する。これは定理7.4で示された。
• 例外型をもつ単連結な準単純群について、$\mathfrak{N}_{G,\Bbbk}$におけるカスピダル対の数は$\ell$に依存し、$E_8$では$\ell = 2,3,5,\geq7$に対してそれぞれ10、8、5、1のカスピダル対を有する。
• $\ell$が良い素数で$G$が半単純かつ単連結であるとき、すべてのカスピダル対は特徴的ゼロのカスピダル対のモジュラー還元によって得られる。
• 型$A$、例外型、および特定の古典的群において、特徴的ゼロのカスピダル対のモジュラー還元から得られるカスピダル対について、クリーニング性が成り立つ。
• Mautnerのクリーニング性に関する予想を仮定すると、より粗い特徴的ゼロの誘導系列が$D^b_G(\mathscr{N}_G,\Bbbk)$の直交分解を誘導する。
• 悪い標数（例：$B$、$C$、$D$型で$\ell = 2$）において、すべての特徴的nilpotent 軌道$\mathscr{O}$は、カスピダル対$(\mathscr{O},\underline{\Bbbk})$をもたらす。これは定理7.3で示された。