[論文レビュー] Modular perverse sheaves on flag varieties I: tilting and parity sheaves

Pramod N. Achar, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、再帰的代数群 G のフラッグ多様体上のパリティ層の圏と、そのラングランズ双対群 Ĝ のフラッグ多様体上のティルティング perverse 层の圏の間で、良い特徴関数において段階的同型を確立する。主な結果は、G のフラッグ多様体上のパリティ層が、Ĝ のフラッグ多様体上のティルティング圏を段階的上に実現することであり、分解数、ソルゲルのモジュラー category O、およびカジハン–ルストゥイグ理論への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we prove that the category of parity complexes on the flag variety of a complex connected reductive group is a "graded version" of the category of tilting perverse sheaves on the flag variety of the dual group, for any field of coefficients whose characteristic is good. We derive some consequences on Soergel's modular category O, and on multiplicities and decomposition numbers in the category of perverse sheaves.

研究の動機と目的

• 再帰的代数群 G のフラッグ多様体上のパリティ層の圏と、そのラングランズ双対群 Ĝ のフラッグ多様体上のティルティング perverse 層の圏の間の、カテゴリー的に正確な関係を確立すること。
• 古典的結果（例えば、 Koszul 対称性、 Soergel 理論）を特徴関数 0 から正の特徴関数へ、モジュラー perverse 層の文脈で拡張すること。
• フラッグ多様体上の perverse 層の圏における分解数および重複度を計算するための幾何的枠組みを提供すること。
• Koszul 対称性の枠組みをモジュラー設定に一般化し、パリティ層の圏が双対側のティルティング圏の段階的上への上昇であることを示すこと。
• Soergel のモジュラー category O が、G のフラッグ多様体上のパリティ層の圏を通じて幾何的に実現されることを確立すること。

提案手法

• 特徴関数 0 における Bezrukavnikov–Yun (2010) の構成を正の特徴関数に適応し、混合 Hodge 構造の代わりにパリティ層の理論を用いる。
• 自己同型関手 T と、ホモロジー同型条件 (1.1) を満たす関手 F を用いた、アーベル圏の「段階的バージョン」の概念を用い、段階的拡張が元の未段階的構造を回復することを保証する。
• ヴェルディエ双対関手 D_X と Riemann–Hilbert 対応を用いた双対性形式主義を適用し、双対フラッグ多様体間の標準的、余標準的、ティルティング対象を関連付ける。
• 混合導来圏 D^mix を含む三角圏の図式を用い、関手 R_{X→Y} および R_{X←Y} を用いて、双対フラッグ多様体上の局所定数導来圏の間で準逆同型を誘導する。
• G/B 上の B-不変層の導来圏と、Ĝ/̌B 上の Ĝ/B̌-不変層の導来圏の間で、双対関手を介して自然同型が存在することに依拠する。
• G/B 上のパリティ層の圏が、Koszul 環上の段階的加群の圏に同型であるという事実を用い、古典的 Koszul 対称性の category O への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い特徴関数において、ラングランズ双対群 Ĝ のフラッグ多様体上のティルティング perverse 層の圏が、G のフラッグ多様体上のパリティ層の圏の段階的上昇としてどのように実現されるか？
• RQ2 G/B 上の perverse 層の分解数と、正の特徴関数におけるヘッケ代数の構造との間の正確な関係は何か？
• RQ3 Soergel のモジュラー category O は、G のフラッグ多様体上のパリティ層の圏を通じて幾何的に実現可能か？
• RQ4 標準的・余標準的層の間の古典的 Koszul 対称性が、パリティ層を通じてモジュラー設定にどの程度拡張可能か？
• RQ5 正の特徴関数において、標準的拡張における単純 perverse 層の重複度は、Kazhdan–Lusztig 基底とどのように関係するか？

主な発見

• G/B 上のパリティ層の圏は、Ĝ/̌B 上のティルティング perverse 層の圏の段階的上昇であり、シフト自己同型関手 [1] が段階的シフトの役割を果たす。
• 関手 ν: IC_{(̌B)}(̌B, ℂ) → Proj-O_0(G) は、category O の射影的加群の段階的バージョンとして、半単純複体の圏を実現し、Soergel の理論を正の特徴関数に拡張する。
• G/B 上の perverse 層の分解数は、ヘッケ代数 H_W の正規基底の q=1 における特殊化によって決定され、Kazhdan–Lusztig の予想を正の特徴関数に一般化する。
• G/B 上のパリティ層の圏は、Koszul 環上の未段階的加群の圏に同型であり、古典的 Koszul 対称性の結果をモジュラー設定に拡張する。
• 二つの双対フラッグ多様体上のティルティング層と単純 perverse 層の間の双対性は、同型のもとで保存され、Koszul 自己双対性のモジュラー版を確立する。
• R_{X→Y} および R_{X←Y} を通じた、D^b_{(B)}(G/B, k) と D^b_{(̌B)}(̌G/̌B, k) の導来圏の同型は、片側のティルティング層の圏と他方の射影的層の圏の間のアーベル圏の同型を誘導し、逆関手をもつ。