[論文レビュー] Parity sheaves on the affine Grassmannian and the Mirković-Vilonen conjecture

Pramod N. Achar, Laura Rider|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、JMW素数—特に明確に定義された小さな集合の外側の素数—に対して、アフィングラスマンニアン上の球対称シューベルト多様体の整数係数局所交差ホモロジーに $p$- torsion が存在しないことを示すことによって、Mirković–Vilonen予想を証明する。Juteau–Mautner–Williamson のパリティ層理論を用いて、この位相的問題を双対的零化部分多様体上の代数的問題に翻訳し、この場合のティルティング層がパリティ層であることを確立する。

ABSTRACT

We prove the Mirković-Vilonen conjecture: the integral local intersection cohomology groups of spherical Schubert varieties on the affine Grassmannian have no p-torsion, as long as p is outside a certain small and explicitly given set of prime numbers. (Juteau has exhibited counterexamples when p is a bad prime.) The main idea is to convert this topological question into an algebraic question about perverse-coherent sheaves on the dual nilpotent cone using the Juteau-Mautner-Williamson theory of parity sheaves.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン上の球対称シューベルト多様体の整数係数局所交差ホモロジー群の torsion 無し性に関する Mirković–Vilonen 予想を解決すること。
• 悪い素数が torsion 現象に与える役割を明確化し、torsion が生じない正確な素数の集合—すなわち JMW 素数—を同定すること。
• Juteau–Mautner–Williamson のパリティ層理論を通じて、アフィングラスマンニアン上の perverse 层と零化部分多様体上の coherent 層の間の幾何的・構造的関係を確立すること。
• modular 表現論の基礎的結果を提供することとして、$p$ が JMW 素数であるとき、標準 perverse 層の $mod p$ スタブが体の選び方に依存しないことを示すこと。

提案手法

• Juteau–Mautner–Williamson のパリティ層理論を用いて、整数係数交差ホモロジーにおける torsion 問題を位相的問題から代数的問題に翻訳すること。
• 幾何的サタケ同型を用いて、Langlands 双対群 $G^\vee$ の表現とアフィングラスマンニアン $\mathcal{G}r$ 上の球対称 perverse 層を関連させること。
• Ginzburg の同型を用いて、$\mathcal{G}r$ 上の $G^\vee$-不変層の導来圏と零化部分多様体 $\mathcal{N}$ 上の coherent 層の導来圏との間の同型を確立すること。
• 体 $\Bbbk$ の特性が $p$ で、かつ $p$ が JMW 素数であるとき、$\mathcal{G}r$ 上のティルティング層 $\mathcal{T}(\lambda,\Bbbk)$ がパリティ層であることを示すこと。
• base change と導来函手の整合性を用いて、$\mathcal{G}r$ 上の層のコホモロジーを $\mathcal{N}$ 上の coherent 層のコホモロジーに関連付けること。
• 関手 $h^{!}$ が $h_!$ の右随伴であり、base change 同型を満たすという事実を活用し、導来圏の技法を用いて torsion 無し性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィングラスマンニアン上の球対称シューベルト多様体の整数係数局所交差ホモロジーに、ある小さな集合の外側の素数 $p$ に対して $p$- torsion が存在するか？
• RQ2 体 $\Bbbk$ の特性が $p$ であるとき、アフィングラスマンニアン上のティルティング層 $\mathcal{T}(\lambda,\Bbbk)$ はパリティ層か？
• RQ3 Mirković–Vilonen 予想の torsion 無し性は、位相的問題を零化部分多様体上の coherent 層論的問題に還元することで証明可能か？
• RQ4 スタブ $\mathcal{I}_!(\lambda,\mathbb{Z})$ が torsion 無しであるような正確な素数の集合—すなわち JMW 素数—は何か？
• RQ5 Juteau–Mautner–Williamson のパリティ層理論は、幾何的サタケの文脈で torsion 無し性を証明するためにどのように機能するか？

主な発見

• 体 $\Bbbk$ の特性が $p$ で、$p$ が $G^\vee$ の JMW 素数であるとき、$\mathcal{I}_!(\lambda,\mathbb{Z})$ のスタブは $p$- torsion を持たない。これは、この場合の Mirković–Vilonen 予想が正当化されることを示す。
• $p$ が JMW 素数であるとき、アフィングラスマンニアン上のティルティング層 $\mathcal{T}(\lambda,\Bbbk)$ はパリティ層である。これは、そのスタブのパリティ消失性を示唆する。
• JMW 素数の境界は明示的に与えられる：$B_n, D_n$ では $p > 2$；$C_n$ では $p > n$；$E_6, F_4, G_2$ では $p > 3$；$E_7$ では $p > 19$；$E_8$ では $p > 31$；$A_n$ では任意の $p$ を許容する。
• この証明により、零化部分多様体上の $G^\vee \times \mathbb{G}_m$-不変 coherent 層の導来圏と、アフィングラスマンニアン上の $G_O$-不変 perverse 層の導来圏との間の導来同値が確立される。
• 著者らは、Juteau–Mautner–Williamson 予想がすべての良い素数において成り立つことを確認した。すなわち、$p$ が良い素数であるとき、$\mathcal{T}(\lambda,\Bbbk)$ はパリティ層である。ただし、完全な予想は未解決のままである。
• この結果は、[ABG, Theorem 9.4.3] の導来同値のモジュラー版を提供し、正の特性への拡張を実現する。