[論文レビュー] Modules Over a Chiral Algebra

Nick Rozenblyum|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的曲線の任意の冪上のチャイナル代数のモジュールについて、包括的な枠組みを提供する。これは、チャイナル代数の3つの同値な記述—チャイナル括弧を備えたDモジュール、ラン空間上のリー代数、および因子化代数—を、モジュールへ一般化したものである。主な貢献は、$X^{I_0}$ 上のチャイナルモジュールが、関連するラン空間上のリー代数のチャイナル包のリー・モジュールと同値であることを確立することであり、チェバレー複体が対角に沿ったコーサイン複体を通じて因子化構造を実現することを示している。

ABSTRACT

Given a chiral algebra, we study modules over an arbitrary power of a curve. We describe this category in three different ways: in terms of factorization, in terms of certain chiral operations and as modules for a lie algebra in a certain tensor category. In addition, we consider analogous questions for LIe-* algebras and factorization spaces. For factorization spaces, we give a construction of multijets in terms of a certain Weil restriction which lets us characterize counital factorizable algebraic stacks as multijets.

研究の動機と目的

• チャイナル代数の3つの同値な記述—チャイナル括弧を備えたDモジュール、ラン空間上のリー代数、および因子化代数—を、曲線の冪上のチャイナル代数のモジュールへ拡張すること。
• チャイナル代数およびリー-*代数の$X^{I_0}$ 上のチャイナル・モジュールおよびリー-*モジュールを定義し、点に台を持つ場合から、グローバルな曲線へ一般化すること。
• パrametrizedラン空間におけるチャイナルおよび$*$-テンソル構造に関して、モジュール圏上のチャイナルモジュールを同定すること。
• チェバレー複体による正確な同値性を確立し、チェバレー複体が対角に沿ったコーサイン複体を計算することを示すことにより、因子化モジュールとリー・モジュールの間の同値性を確立すること。
• 押し出し関手$r_{I_0*}$の本質的像を、リー・モジュール構造およびチェバレー複体のコーンの消滅という観点から特徴づけること。

提案手法

• パrametrizedラン空間$Ran_{I_0}$を導入し、因子化性およびチャイナル作用を通じて$X^{I_0}$ 上のチャイナルモジュールを定義する。
• チャイナル包の構成を用いて、チャイナル代数に対しリー-*代数を関連付け、それに対応するリー-*モジュールおよびチャイナルモジュールを定義する。
• ラン空間上のLie代数$r_*(A)$が$r_{I_0*}(M)$に作用する際、ドレーブド$ty$-圏$D\text{Mod}(Ran_{I_0})$におけるチェバレー複体の構成を適用し、微分はチャイナル乗法マップで与えられる。
• チェバラー複体$C_*(r_*(A), r_{I_0*}(M))$が、対角に沿ったコーサイン複体への同一視を通じて、$Ran_{I_0}$ 上の$D$-モジュールとして$M$と準同型的であることを確立する。
• 随伴およびベースチェンジを用いて、$r_{I_0*}$をラン空間上のテンソル構造$oxtimes^*$および$oxtimes^{ch}$と関連づけ、$Ran_{I_0}$ 上の層がモジュール圏をなすことを示す。
• 関手$r_{\tilde{I}*}$およびその引き戻し$r_{\tilde{I}}^!$を用いて、グローバルなモジュールと局所的データを結びつけ、対角による層化およびマルチジェット構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャイナル代数の3つの同値な記述—チャイナル括弧を備えたDモジュール、ラン空間上のリー代数、および因子化代数—を、$X^{I_0}$ 上のチャイナル代数のモジュールへどのように拡張できるか。
• RQ2 $X^{I_0}$ 上のチャイナルモジュールと、関連するラン空間上のリー代数のチャイナル包のリー・モジュールとの間の正確な関係は何か。
• RQ3 ラン空間$Ran_{I_0}$ 上のLie代数$r_*(A)$のチェバレー複体が、チャイナルモジュールの因子化構造をどのように実現するか。
• RQ4 リー・モジュールが、$X^{I_0}$ からの押し出し関手$r_{I_0*}$ の本質的像にあるための条件は何か。
• RQ5 ラン空間上の層におけるチャイナルおよび$*$-テンソル構造が、チャイナル・モジュールおよびリー-*モジュールをどのように分類するか。

主な発見

• $D\text{Mod}(Ran_{I_0})$におけるチェバレー複体$C_*(r_*(A), r_{I_0*}(M))$は、元のチャイナルモジュール$M$（$X^{I_0}$ 上）と準同型的であり、複体は$X^{\tilde{I}}$ の対角に沿ったコーサイン複体を計算する。
• リー代数$r_*(A)$上のリー・モジュール$M$が、$r_{I_0*}$ の本質的像にあるための必要十分条件は、そのチェバレー複体が$A$ に対する因子化モジュールであることである。これにより、像カテゴリの正確な特徴づけが得られる。
• $r_{I_0*}$ はチャイナル$A$-モジュールの圏上で完全忠実であり、逆関手はチェバレー複体によるコーサイン複体構成で与えられる。
• $Ran_{I_0}$ 上の層は、チャイナルおよび$*$-テンソル構造に関してモジュール圏をなし、チャイナルおよびリー-*モジュールはこの圏におけるリー・モジュールとして同定される。
• チャイナルモジュールと因子化モジュールの同値性は、チェバレー複体によって実現され、マルチジェット層化および随伴を用いて因子化構造が回復される。
• この構成は、古典的な場合を一般化する。すなわち、点に台を持つチャイナルモジュールは、アフィン・カック＝ムーディ代数$G_{\tilde{\fK}}$ の表現に対応するが、今やラン空間を通じてグローバルな曲線へ拡張されている。