[论文解读] Moduli of $p$-adic representations of a profinite group

Jorge António|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文构建了一个 $Π$-解析叠 $ρ\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$，用于参数化在代数闭域上光滑、完备概形 $X$ 的平展基本群 $\pi_1^{̄t}(X)$ 的连续 $p$-进表示。证明了该叠具有一个规范的导出提升，通过伴随表示的平展上同调实现其形变理论，从而实现了 Deligne 关于 $p$-进局部系统模空间的猜想。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth and proper scheme over an algebraically closed field. The purpose of the current text is twofold. First, we construct the moduli stack parametrizing rank $n$ continuous $p$-adic representations of the étale fundamental group $π_1^ extrm{ét}(X)$. Our construction realizes such object as a $\mathbb{Q}_p$-analytic stack, denoted $\mathrm{LocSys}_{p,n } (X)$. Secondly, we prove that $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ admits a canonical derived structure. This derived structure allow us to intrinsically recover the deformation theory of continuous $p$-adic representations, studied in [GV18]. Our proof of geometricity of $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ uses in an essential way the $\mathbb{Q}_p$-analytic analogue of Lurie-Artin representability, proved in [PY17].

研究动机与目标

• 构造 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$ 的连续 $p$-进表示的全局模空间，如 Deligne 所猜想。
• 为该模空间赋予一个规范的导出结构，以实现对其形变理论的内在控制。
• 通过使用拟平展局部系统，将该模空间叠实现为 $\mathbb{Q}_p$-解析商叠。
• 在模空间的余切复形与伴随表示的平展上同调之间建立精确联系。
• 为在正特征下研究光滑、完备概形上的 $p$-进局部系统提供一个几何框架。

提出的方法

• 通过点函数 $A \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1^{\text{ét}}(X), \mathrm{GL}_n(A))$（其中 $A \in \mathrm{Afd}_{\mathbb{Q}_p}$）将模函子 $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ 构造为 $\mathbb{Q}_p$-解析叠。
• 使用 Lurie-Artin 可表示性的 $\mathbb{Q}_p$-解析类比，证明 $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$ 可由 $\mathbb{Q}_p$-解析空间表示。
• 通过 $\mathrm{GL}_n(A)$ 上的 ind-pro 结构，将模空间叠识别为 $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$ 关于 $\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-共轭作用的商叠。
• 应用 [BS13] 的结果，将点族与 $X$ 上的秩 $n$ 拟平展 $A$-局部系统对应，确保几何一致性。
• 在导出 $\mathbb{Q}_p$-仿射概形的 $\infty$-范畴中构造一个导出提升 $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$。
• 建立导出模空间叠的余切复形为 $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))^\vee[-1]$，从而将其与平展上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{Q}_p$-解析设定下，为 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$ 的连续 $p$-进表示构造一个全局模空间叠？
• RQ2 该模空间叠是否具有一个规范的导出提升，以捕捉其形变理论？
• RQ3 在 $p$-进表示的形变理论与伴随表示的平展上同调之间有何关系？
• RQ4 该模空间叠能否作为某个 $\mathbb{Q}_p$-解析空间在群作用下的商叠被实现？
• RQ5 导出模空间叠是否具有凝聚性与幂零完备性，以确保良好的几何行为？

主要发现

• 模空间叠 $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ 可由 $\mathbb{Q}_p$-解析叠表示，其具有光滑图集 $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$，作为 $\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-共轭作用下的商叠。
• 导出提升 $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ 存在，且具有凝聚性与幂零完备性，确保了稳健的几何性质。
• 在点 $\rho$ 处的余切复形自然同构于平展上同调 $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))[-1]$ 的对偶，从而与上同调形变理论建立了精确联系。
• 模空间叠 $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ 中的点族精确对应于 $X$ 上的秩 $n$ 拟平展 $A$-局部系统，确认了其几何自然性。
• 该构造实现了 Deligne 关于光滑、完备概形上 $p$-进平展局部系统模空间存在的猜想。
• 通过导出结构，$p$-进表示的形变理论被内在地恢复，且在几何框架下推广了 [GV18] 的结果。