[論文レビュー] Moment-angle manifolds, 2-truncated cubes and Massey operations

Ivan Limonchenko|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各 $ n \geq 2 $ に対して、2-切断立方体（2-truncated cubes）—グラフ・アソシアハエドラでないフラッグ・ネストオヘドラ—に対応する滑らかで閉じた2連結なモーメント・アングル多様体 $ \mathcal{Z}_P $ の族を構成する。これらの有理コホモロジー環には、非自明な高次マシー $ n $-積が含まれる。この構成はスターリング＝ライスナー環とモーメント・アングル複体の多重次数付きコホモロジーに依拠し、$ n $-重マシー積が適切に定義されており、非消滅であることを証明する。その代表コサイクルは $ v_1v_{2n}u_2\cdots u_{2n-1} $ であり、これは2つの低次のクラスの積として分解可能である。

ABSTRACT

We construct a family of manifolds, one for each $n\geq 2$, having a nontrivial Massey $n$-product in their cohomology. These manifolds turn out to be smooth closed 2-connected manifolds with a compact torus action called moment-angle manifolds $\mathcal Z_P$, whose orbit spaces are simple $n$-dimensional polytopes $P$ obtained from a $n$-cube by a sequence of truncations of faces of codimension 2 only (2-truncated cubes). Moreover, the polytopes $P$ are flag nestohedra but not graph-associahedra. We compute some bigraded Betti numbers $β^{-i,2(i+1)}(Q)$ for an associahedron $Q$ in terms of its graph structure and relate it to the structure of the loop homology (Pontryagin algebra) $H_{*}(Ω\mathcal Z_Q)$. We also study triple Massey products in $H^{*}(\mathcal Z_Q)$ for a graph-associahedron $Q$.

研究の動機と目的

• 滑らかで閉じた2連結な多様体を、コン pact なトーラス作用を伴って構成し、その有理コホモロジーに非自明な高次マシー積を有するものとする。
• このような多様体をモーメント・アングル多様体 $ \mathcal{Z}_P $ として実現する多面体の組合せ的クラス—2-切断立方体—を同定する。
• 各 $ n \geq 2 $ に対して、多重次数付きコホモロジーとコサイクル代表元を用いて、$ H^*(\mathcal{Z}_P) $ に非自明な $ n $-重マシー積が存在することを証明する。
• グラフ・アソシアハエドラの双次数ベッチ数と、それに対応するモーメント・アングル複体のループホモロジーとの関係を明らかにする。

提案手法

• モーメント・アングル多様体の構成 $ \mathcal{Z}_P $ を、$ \mathbb{C}^m $ 上のトーラス作用の引き戻しとして用いる。ここで $ P $ は単純な $ n $ 次元多面体である。
• コホモロジーのモデルとしてスターリング＝ライスナー環 $ \Bbbk[K] = \Bbbk[v_1,\dots,v_m]/\mathcal{I}_K $ を用い、$ \mathcal{I}_K $ は $ K $ の非単体に対応する平方自由単項式によって生成される。
• 多重次数付きコホモロジー技法を用いて、$ H^*(\mathcal{Z}_P) $ におけるマシー積の不定性と代表可能性を分析し、特に $ \mathbb{Z}^m $-次数に注目する。
• 帰納法とコバウンダリーの議論を用いて、$ n $-重マシー積における唯一のコサイクルが $ v_1v_{2n}u_2\cdots u_{2n-1} $ であることを示し、非自明性を証明する。
• 関手的性質 $ \mathcal{Z} $ を用いて高次マシー積を構成し、ビルディング集合を用いて多面体を結合することで、所望の次数の非自明なマシー積を複数持つ多様体を生成する。
• グラフ構造を通じて、グラフ・アソシアハエドラ $ Q $ の双次数ベッチ数 $ \beta^{-i,2(i+1)}(Q) $ とそのモーメント・アングル複体のポントリャーギン代数 $ H_*(\Omega\mathcal{Z}_Q) $ の関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-切断立方体に対応するモーメント・アングル多様体は、$ n \geq 2 $ の非自明な高次マシー積を有するか。
• RQ2 $ H^*(\mathcal{Z}_P) $ における $ n $-重マシー積の代表コサイクルの構造は何か。
• RQ3 グラフ・アソシアハエドラの双次数ベッチ数は、そのモーメント・アングル複体のループホモロジーとどのように関係するか。
• RQ4 非自明なマシー積を $ \mathcal{Z}_P $ で実現する多面体 $ P $ はフラッグ・ネストオヘドラであるか。もしそうなら、それはグラフ・アソシアハエドラであるか。
• RQ5 $ \mathcal{Z} $-関手とビルディング集合を用いて、所望の次数の複数の非自明なマシー積を持つ多様体を構成できるか。

主な発見

• 各 $ n \geq 2 $ に対して、コン pact なトーラス作用を伴う滑らかで閉じた2連結なモーメント・アングル多様体 $ \mathcal{Z}_P $ が存在し、そのコホモロジーには非自明な $ n $-重マシー積が含まれる。
• 多面体 $ P $ は2-切断立方体であり、フラッグ・ネストオヘドラではあるが、グラフ・アソシアハエドラではない。これにより、高次マシー積を実現する新しい多面体のクラスが得られる。
• $ n $-重マシー積 $ \langle\alpha_1,\dots,\alpha_n\rangle $ は非自明であり、唯一のコホモロジー類として $ v_1v_{2n}u_2\cdots u_{2n-1} $ によって代表される。これは、一意なコサイクル代表元があるため、不定性がない。
• 代表コサイクル $ v_1v_{2n}u_2\cdots u_{2n-1} $ は分解可能である：$ [v_1v_{2n}u_2\cdots u_{2n-1}] = \pm [v_1u_{n+1}\cdots u_{2n-1}] \cdot [v_{2n}u_2\cdots u_n] $。
• $ n=4 $ の場合、4重マシー積は $ H^{-6,16}(\mathcal{Z}_P) \subset H^{10}(\mathcal{Z}_P) $ において $ v_1v_8u_2\cdots u_7 $ によって代表され、17次元の多様体である。
• ビルディング集合を用いることで、任意の $ r \geq 2 $ に対して、$ P = P_{B'} $ として、$ n_1, \dots, n_r $ の次数の非自明なマシー積を有する多様体 $ \mathcal{Z}_P $ を構成できる。ここで $ B' $ は $ (r-1) $-立方体の連結なビルディング集合である。