[論文レビュー] Monotonicity and phase transition for the VRJP and the ERRW

Rémy Poudevigne|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、異なる初期重みを持つVRJPプロセスのカップリングを用いて、VRJPとERRWにおける単調性を確立し、初期重みを増加させると再帰的性質が減少することを証明する。主な結果は、$d \geq 3$ の $ olinebreak[4]\mathbf{Z}^d$ 上でのVRJPおよびERRWの再帰／発散の相転移が一意的であること、および再帰的グラフ上でのVRJP／ERRWの再帰性が無限大の初期重みの極限によって得られることである。

ABSTRACT

The vertex-reinforced jump process (VRJP), introduced by Davis and Volkov, is a continuous-time process that tends to come-back to already visited vertices. It is closely linked to the edge-reinforced random walk (ERRW) introduced by Coppersmith and Diaconis in 1986 which is more likely to cross edges it has already crossed. On $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 3$, both models where shown to be recurrent for small enough initial weights (by Sabot, Tarrès(2015) and Angel,Crawford,Kozma(2014)) and transient for large enough initial weights (by Disertori,Sabot,Tarrès(2015) and Sabot,Tarrès(2015)). We show through a coupling of the VRJP for different weights that the VRJP (and the ERRW) exhibits some monotonicity. In particular, we show that increasing the initial weights of the VRJP and the ERRW makes them more transient which means that the recurrence/transience phase transition is necessarily unique. Furthermore, by making the weights go to infinity, we show that the recurrence of the ERRW and the VRJP is implied by the recurrence of a random walk in deterministic electrical network.

研究の動機と目的

• 初期重みに関するVRJPおよびERRWの再帰的・発散的挙動の単調性を確立すること。
• $\mathbf{Z}^d$ ($d \geq 3$) 上でのVRJPおよびERRWにおける再帰／発散相転移の一意性という未解決の問題を解消すること。
• 再帰的グラフ上でのERRWおよびVRJPの再帰性が、無限大の初期重み下での挙動から導かれるべきであることを示すこと。
• VRJP／ERRWと電気回路との関係を拡張し、決定的ネットワークにおける有効コンダクタンスと再帰性を結びつけること。

提案手法

• 初期重み配置 $W^{-}$ と $W^{+}$ が $W^{-} \leq W^{+}$ を満たすように異なるVRJPプロセスのカップリングを構築し、それらの再帰確率を比較する。
• ERRWがi.i.d.ガンマ分布に従う重みを用いたVRJPの時間変換版として表現できることを用い、結果をERRWへと拡張する。
• 文献[16]で提案された$\beta$-フィールドカップリング技術を用いて、VRJPにおける有効重みの時間発展を制御する。
• VRJPのグリーン関数の逆数と電気回路における有効コンダクタンスの等価性を応用し、再帰性を分析する。
• 特定の条件下で有効重みが確率的にゼロに収束することを用い、比 $G_n(x_0, \delta_n)/G_n(\delta_n, \delta_n)$ が確率的にゼロに収束することを示し、再帰性を裏付ける。
• 測度の変更およびラプラス変換技術を用いて、逆$\beta$-変数の条件付き期待値を計算し、有効コンダクタンスと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VRJPおよびERRWの初期重みを増加させると、発散性が単調に増加するか？
• RQ2 VRJPおよびERRWが$\mathbf{Z}^d$ ($d \geq 3$) 上に存在する再帰／発散相転移は一意的か？
• RQ3 再帰的グラフ上でのVRJPおよびERRWの再帰性は、無限大の初期重み下での挙動から導けるか？
• RQ4 有効コンダクタンスが電気回路においてどのようにしてVRJPの再帰性を決定づけるか？
• RQ5 $\beta$-フィールドカップリングはVRJPにおける単調性の確立にどのように寄与するか？

主な発見

• VRJPの再帰確率は初期重みに関して非増加的である：$W_e$ を増加させると再帰確率は減少する。
• VRJPおよびERRWが$\mathbf{Z}^d$ ($d \geq 3$) 上に存在する再帰／発散相転移は一意的であり、単調性により複数の転移が排除される。
• 再帰的グラフ上でのERRWおよびVRJPの再帰性は、無限大の初期重みの極限において、決定的電気回路上のランダムウォークに類似した挙動を示すことに起因する。
• コンダクタンス $c_e = \mathbb{E}[\tilde{W}_e]$ を持つ電気回路における有効コンダクタンスが、VRJPの再帰性を支配し、有効コンダクタンスがゼロに収束すれば再帰性が成立する。
• 有効重み $w^{\text{eff}}$ が確率的にゼロに収束するとき、比 $G_n(x_0, \delta_n)/G_n(\delta_n, \delta_n)$ も確率的にゼロに収束し、再帰性が裏付けられる。
• VRJPにおける逆$\beta$-変数の分布は非心カイ二乗分布と関連しており、カップリングに不可欠な条件付き期待値の正確な計算が可能になる。