[論文レビュー] More Consequences of Falsifying SETH and the Orthogonal Vectors Conjecture

Amir Abboud, Karl Bringmann+2 more|TU/e Research Portal|May 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 85被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、OV および SETH の予想が誤りであると仮定すると、長年の難問であるゼロ重み k-クリークおよび最小重み k-クリーク問題（ハイパーグラフ上）、およびスパースな TC1 回路の充足可能性など、複数の問題が現在知られているよりも著しく高速なアルゴリズムを備えることになると示すことにより、OV および SETH の予想に対する証拠を強化している。主な結果は、OV のためのサブクアドレティックなアルゴリズムが存在すれば、これらの問題に対してサブ指数的時間のアルゴリズムが得られることであり、それらの問題の難易度が根本的な計算複雑性の仮定と関連していることを示している。

ABSTRACT

The Strong Exponential Time Hypothesis and the OV-conjecture are two popular hardness assumptions used to prove a plethora of lower bounds, especially in the realm of polynomial-time algorithms. The OV-conjecture in moderate dimension states there is no $ε>0$ for which an $O(N^{2-ε})\mathrm{poly}(D)$ time algorithm can decide whether there is a pair of orthogonal vectors in a given set of size $N$ that contains $D$-dimensional binary vectors. We strengthen the evidence for these hardness assumptions. In particular, we show that if the OV-conjecture fails, then two problems for which we are far from obtaining even tiny improvements over exhaustive search would have surprisingly fast algorithms. If the OV conjecture is false, then there is a fixed $ε>0$ such that: (1) For all $d$ and all large enough $k$, there is a randomized algorithm that takes $O(n^{(1-ε)k})$ time to solve the Zero-Weight-$k$-Clique and Min-Weight-$k$-Clique problems on $d$-hypergraphs with $n$ vertices. As a consequence, the OV-conjecture is implied by the Weighted Clique conjecture. (2) For all $c$, the satisfiability of sparse TC1 circuits on $n$ inputs (that is, circuits with $cn$ wires, depth $c\log n$, and negation, AND, OR, and threshold gates) can be computed in time ${O((2-ε)^n)}$.

研究の動機と目的

• OV および SETH の予想に対する証拠を強化すること。具体的には、それらの予想が誤りであると仮定した場合、クリーク問題やスパースな TC1 回路の充足可能性など、複数の長年の難問に対して顕著なアルゴリズム的ブレークスルーが生じることを示すこと。
• OV 予想が誤りであるならば、任意の d および十分に大きな k に対して、d-ハイパーグラフ上のゼロ重み k-クリークおよび最小重み k-クリーク問題に対して、ある ε > 0 に対して O(n^{(1−ε)k}) 時間で動作するランダム化アルゴリズムが存在することを示すこと。
• CNF-SAT が O*(2^{1−ε}n) 時間で解けるならば、cn 本のワイヤーと深さ (log n)^{1+δ} を持つスパースな TC1 回路の充足可能性が、ある ε' > 0 に対して O(2^{(1−ε')n}) 時間で計算可能であることを証明すること。
• OV 予想が重み付きクリーク予想を含意することを確立し、細粒度計算複雑性における二つの中心的予想を結びつけること。

提案手法

• OV 問題から d-ハイパーグラフ上のゼロ重み k-クリークおよび最小重み k-クリーク問題への還元を実施し、OV のサブクアドレティックなアルゴリズムがこれらのクリーク問題に対してサブ指数的時間アルゴリズムを導くことを示した。
• レムマ 4.7（Valiant 方式のエッジ除去）を用いた深さ低減技術を用い、しきい値回路の深さを短縮し、効率的な CNF 公式への変換を可能にした。
• 適切に選択されたエッジの集合上でゲート値を段階的に固定することで、しきい値回路から k-CNF 公式を構築した。この過程で回路の深さとサイズを削減しながら充足可能性を保持した。
• 得られた公式に対して、改善された O*(2^{1−ε}n) 時間のランダム化アルゴリズムを適用し、元のしきい値回路の充足可能性をサブ指数的時間で計算可能とした。
• DeMorgan 回路を用いて、しきい値ゲートや MODm ゲートなどの対称ゲートをシミュレートし、結果を基本的なしきい値ゲートに限らない一般化を可能とした。
• APSP、3-SUM、パターンマッチングなど、P や NP に属する複数の問題に対して、OV や CNF-SAT の改善がどのように波及するかを示す還元の階層を確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OV 予想が誤りであるならば、d-ハイパーグラフ上のゼロ重み k-クリークおよび最小重み k-クリーク問題に対してどのようなアルゴリズム的結果が得られるか？
• RQ2 OV 問題に対するサブクアドレティックなアルゴリズムは、任意の深さを持つスパースな TC1 回路に対してサブ指数的時間アルゴリズムを導くことができるか？
• RQ3 SETH の失敗が、APSP、3-SUM、クリーク問題などの問題の複雑さにどの程度の改善をもたらすか？
• RQ4 OV 予想は重み付きクリーク予想よりも厳密に強いのか、それとも還元によって同等であるのか？
• RQ5 深さ低減技術を用いることで、しきい値回路の CNF 符号化における節の数の深さ依存性を改善できるか？

主な発見

• OV 予想が誤りであるならば、すべての d および十分に大きな k に対して、ある ε > 0 に対して、d-ハイパーグラフ上のゼロ重み k-クリークおよび最小重み k-クリーク問題を O(n^{(1−ε)k}) 時間で解くランダム化アルゴリズムが存在する。
• OV 予想は重み付きクリーク予想を含意しており、OV のサブクアドレティックなアルゴリズムが重み付きクリーク問題に対してサブ指数的アルゴリズムを導くことを意味する。
• CNF-SAT が O*(2^{1−ε}n) 時間で解けるならば、cn 本のワイヤーと深さ (log n)^{1+δ} を持つスパースな TC1 回路の充足可能性は、ある ε' > 0 に対して O(2^{(1−ε')n}) 時間で計算可能である。
• 還元で得られる k-CNF 公式の数は 2^{εn/2} 以下であり、各公式の変数数は (1 + ε/2)n 以下であるため、全体のサイズはサブ指数的であることが保証される。
• k と回路深さ d の依存関係は、(4000(c/ε) lg(4c/ε))^{(2d)^{1−ε/(2c)}} にまで低減され、深さ (log n)^{1+δ} の回路では指数的スピードアップが可能である。
• 本研究の結果は、OV 予想が誤りであると仮定すると、グラフアルゴリズム、文字列マッチング、計算幾何学など、複数の分野において、既知の下界が崩れるという画期的な進展が生じることを示している。