[论文解读] More on symmetry resolved operator entanglement

Sara Murciano, Jérôme Dubail+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2023

Quantum many-body systemsPhysics and Astronomy参考文献 100被引用 3

一句话总结

该论文将对称性分辨的算符纠缠（SROE）扩展至U(1)对称的自旋链系统，通过共形场论和自由费米子链分析了热密度矩阵与海森堡绘景下局部算符的纠缠。关键结果表明，热密度矩阵遵循具有等分的算符面积律，而局部算符表现出有限的SROE和破缺的等分；相比之下，如Jordan-Wigner弦这样的扩展算符则表现出对数增长的SROE并恢复了等分。

ABSTRACT

The `operator entanglement' of a quantum operator $O$ is a useful indicator of its complexity, and, in one-dimension, of its approximability by matrix product operators. Here we focus on spin chains with a global $U(1)$ conservation law, and on operators $O$ with a well-defined $U(1)$ charge, for which it is possible to resolve the operator entanglement of $O$ according to the $U(1)$ symmetry. We employ the notion of symmetry resolved operator entanglement (SROE) introduced in [PRX Quantum 4, 010318 (2023)] and extend the results of the latter paper in several directions. Using a combination of conformal field theory and of exact analytical and numerical calculations in critical free fermionic chains, we study the SROE of the thermal density matrix $ρ_β= e^{- βH}$ and of charged local operators evolving in Heisenberg picture $O = e^{i t H} O e^{-i t H}$. Our main results are: i) the SROE of $ρ_β$ obeys the operator area law; ii) for free fermions, local operators in Heisenberg picture can have a SROE that grows logarithmically in time or saturates to a constant value; iii) there is equipartition of the entanglement among all the charge sectors except for a pair of fermionic creation and annihilation operators.

研究动机与目标

• 将对称性分辨算符纠缠（SROE）的框架扩展至U(1)对称的量子系统，特别是在一维自旋链中。
• 研究关键物理算符（如热密度矩阵和海森堡绘景下的局部算符）在U(1)电荷扇区中算符纠缠的分布。
• 确定纠缠是否在电荷扇区间保持等分，以及在何种条件下其被破坏或恢复。
• 在热密度矩阵的背景下建立SROE的算符面积律，并分析局部与扩展算符的SROE时间演化。
• 通过复制方法和扭场研究SROE、纠缠壁垒及临界系统中非普遍修正之间的联系。

提出的方法

• 在共形场论（CFT）中使用复制技巧计算热密度矩阵和局部算符的带电矩及对称性分辨纠缠。
• 利用扭场形式化推导自由费米子CFT中的带电矩，实现$K=1$情况下的SROE解析计算，并推广至$K \neq 1$。
• 在自由费米子链中应用精确解析与数值方法，计算如产生/湮灭算符和密度算符等局部算符的SROE。
• 通过其与域壁淬火动力学的关系推导Jordan-Wigner弦的SROE，表明其随时间对数增长。
• 利用算符的向量化及双分系统中向量化算符的冯诺依曼熵定义算符纠缠。
• 分析不同电荷扇区中SROE的渐近行为，包括扩展算符的$q^2 / \log^2 t$阶修正，表明部分等分恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 热密度矩阵$\rho_\beta = e^{-\beta H}$的对称性分辨算符纠缠（SROE）是否服从算符面积律？
• RQ2 海森堡绘景下局部算符的SROE如何随时间演化？其在U(1)电荷扇区间是否表现出等分？
• RQ3 算符空间支撑在决定SROE是否满足等分方面起什么作用？
• RQ4 如Jordan-Wigner弦等扩展算符的SROE在时间演化与对称性分辨方面与局部算符有何不同？
• RQ5 非普遍修正在多大程度上影响SROE的等分性？能否系统地计算这些修正？

主要发现

• 热密度矩阵$\rho_\beta$的SROE服从算符面积律，各电荷扇区中纠缠有界，且在主导阶上不依赖于电荷。
• 在自由费米子链中，海森堡绘景下局部算符的SROE随时间保持有限，并强烈违反等分，仅除一对费米子产生与湮灭算符外。
• Jordan-Wigner弦的SROE随时间对数增长，形式为$\sim \frac{n+1}{3n} \log(4t)$，表明算符纠缠发散，并渐近恢复等分，其修正为$q^2 / \log^2 t$阶。
• 局部密度算符$c_x^\dagger(t) c_x(t)$的SROE在所有时间均服从面积律，且由于有限支撑而表现出强烈的等分破坏。
• 对于纠缠发散的算符（如扩展弦），SROE的等分性得以恢复；而对于具有有限空间支撑的局部算符，等分性被破坏。
• Jordan-Wigner弦的等分性渐近修正为$\sim q^2 \pi^4 (h_1 - n h_n) / [4(1-n) (\log(2t\kappa_n))^2]$，其非普遍系数依赖于$h_n$、$\delta_n$和$\kappa_n$。