[論文レビュー] Motivic Eilenberg-Maclane spaces

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|May 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、特徴値が0の体上の滑らかで、半正則な準射影的スキームを含むf-適応カテゴリを含む、モチビックコホロロジーを表すモチビックEilenberg-MacLane空間を記述するため、モチビックホモトピー圏における対称冪を構成する。主な結果は、滑らかなスキーム上で、すべての双安定モチビックコホロロジー作用素の代数を完全に計算し、それが特徴値が0の体上でのモチビックストーンロード代数と一致することを示している。

ABSTRACT

This paper is the second one in a series of papers about operations in motivic cohomology. Here we show that in the context of smooth schemes over a field of characteristic zero all the bi-stable operations can be obtained in the usual way from the motivic reduced powers and the Bockstein homomorphism.

研究の動機と目的

• 体上のスキームのモチビックホモトピー圏における対称冪の構成法を開発すること。
• 滑らかで、半正則な準射影的スキームを含むf-適応カテゴリにおける、モチビックEilenberg-MacLane空間を記述し、それらがモチビックコホロロジーを表すことを示すこと。
• 特徴値が0の体上の滑らかなスキーム上で、双安定モチビックコホロロジー作用素の代数を完全に計算すること。
• ブロッハ＝カト予想の証明に不可欠な不安定作用素を理解するための基礎的道具を確立すること。
• モチビックホモトピー理論における、点付き対象、有限対応、およびr加法的関手のホモトピー理論を、共通の枠組みで統一すること。

提案手法

• 積、エタール写像、余積、および有限群商に関して閉じたスキームの部分カテゴリであるf-適応カテゴリを導入し、滑らかなスキームを越えて拡張する。
• r加法的関手の形式的枠組みを用いて、非点付き、点付き、および転送を含むホモトピー理論を、単体的r加法的関手の文脈で一様に扱う。
• C_+およびCor(C,R)の(Nis, bA^1)-ホモトピー圏における一般化された対称冪を構成し、モチビックEilenberg-MacLane空間の研究を可能にする。
• Dold-Kan対応を用いて、単体的r加法的関手と非正の複体を関連させ、ホモロジー代数の道具を用いることを可能にする。
• ヴェルディエ閉包およびar{Delta}-閉包技術を用いて、r加法的関手の導来圏におけるホモトピー類と射影的同値を分析する。
• モチビックDold-Thom定理を確立し、モチビックムーア対を定義して、モチビックEilenberg-MacLane空間の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限対応および点付きスキームのモチビックホモトピー圏における対称冪は、どのように構成できるか？
• RQ2 p \geq q のとき、K(A,p,q)_C としてのモチビックEilenberg-MacLane空間の正確な記述は、対称冪およびr加法的関手を用いてどのように与えられるか？
• RQ3 モチビックEilenberg-MacLane空間がモチビックコホロロジーを表すf-適応カテゴリはどれか？
• RQ4 特徴値が0の体上の滑らかなスキーム上で、双安定モチビックコホロロジー作用素の代数の構造はどのようなものか？
• RQ5 ブロッハ＝カト予想の証明に必要な不安定作用素は、モチビックEilenberg-MacLane空間およびそれらの対称冪構造とどのように関係するか？

主な発見

• f-適応カテゴリ（滑らかで、半正則な準射影的スキームを含む）において、モチビックEilenberg-MacLane空間 K(A,p,q)_C は、(Nis, bA^1)-ホモトピー圏における対称冪を用いて記述される。
• 特徴値が0の体において、bZ/l係数の \\Delta^{op}(Sm/k)_+^\sharp 上のすべての双安定モチビックコホロロジー作用素の代数は、定理3.49で述べられるように、モチビックストーンロード代数 \\mathcal{A}^{*,*}(k,\bbZ/l) と同型である。
• H_{Nis,\bbA^1}(Cor(C,R)) における対称冪の構成は、モチビックコホロロジーの安定的記述を提供し、古典的Dold-Thom定理をモチビック設定に一般化する。
• C_+およびCor(C,R)上のr加法的関手の圏は、モチビックホモトピー理論を一様に扱うことを可能にし、点付きおよび転送を含む設定を統一する。
• 定理2.76、3.25、および3.32は、不安定作用素に関する重要な結果を提供し、ブロッハ＝カト予想の証明のための基盤をなす。
• モチビックDold-Thom定理およびモチビックムーア対の構造が、モチビックEilenberg-MacLane空間のホモトピー型を分析するための道具として確立された。