[論文レビュー] Movable intersection and bigness criterion

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、可縮Kähler多様体上の2つの擬効性$(1,1)$-類の差に対するMorse型の大きさ基準を、可動交線積を用いて確立する。もし擬効性$α$と可動$β$に対して$υολ(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$が成り立つならば、$α - \beta$はケーラー形式を含み、古典的な代数的Morse不等式を超越的および可動的設定に拡張する。

ABSTRACT

In this note, we give a Morse-type bigness criterion for the difference of two pseudo-effective $(1,1)$-classes by using movable intersections. As an application, we give a Morse-type bigness criterion for the difference of two movable $(n-1,n-1)$-classes.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上の擬効性$(1,1)$-類へのラインバンドルに対する代数的Morse不等式の一般化を図ること。
• 擬効性$α$と可動$β$に対して不等式$\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$が成り立つならば、$α - \beta$にケーラー形式が存在するかを検討すること。
• ケーラー錐と可動錐の双対性を用いて、2つの可動$(n-1,n-1)$-類の差に対するMorse型の大きさ基準を確立すること。
• Demaillyの超越的Morse不等式に関する予想と$(1,1)$-類上の体積関数の$\mathcal{C}^1$-微分可能性の同値性を明確にすること。

提案手法

• 擬効性$(1,1)$-類に用いられる可動交線積$\langle \cdot \rangle$を用いる。これは[Bou02a, BDPP13]で開発された。
• Popoviciによって確立された超越的Morse不等式における改善された定数$n$を用い、結果をネフ類から擬効性類へ拡張する。
• ケーラー錐の閉包$\overline{\mathcal{K}}^\vee$と$(n-1,n-1)$--currentの可動錐$\mathcal{N}$の間の双対性$\overline{\mathcal{K}}^\vee = \mathcal{N}$を適用する。
• テストクラス$N_\epsilon \in \overline{\mathcal{K}}$を用いた背理法的議論により、$\langle\alpha^{n-1}\rangle - \langle\beta^{n-1}\rangle$が正のcurrentを含む必要があることを示す。
• 体積関数の$\mathcal{C}^1$-微分可能性に依拠し、[BFJ09]で証明された、$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\operatorname{vol}(\alpha + t\gamma) = n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \gamma$という重要な不等式を導出する。
• 特異Morse不等式枠組みにおける正の$(1,1)$-形式に対して、不等式$\mathbf{1}_{X(\alpha-\beta,\leq 1)}(\alpha-\beta)^n \geq \alpha^n - n\alpha^{n-1} \wedge \beta$を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効性$\alpha$と可動$\beta$に対して不等式$\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$が成り立つならば、$\alpha - \beta$にケーラー形式が存在するか？
• RQ2 古典的なラインバンドルの代数的Morse不等式は、可動的クラスを伴う擬効性ラインバンドルへ一般化可能か？
• RQ3 Demaillyの超越的Morse不等式に関する予想は、$(1,1)$-類上の体積関数の$\mathcal{C}^1$-微分可能性と同値か？
• RQ4 ケーラー錐と可動錐の双対性を用いて、2つの可動$(n-1,n-1)$-類の差に対する大きさ基準は拡張可能か？

主な発見

• 擬効性$\alpha$と可動$\beta$に対して不等式$\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$が成り立つならば、$\alpha - \beta$にケーラー形式が存在する。
• この結果は、[Bou02b, Theorem 4.7]および[DP04, Theorem 0.5]を擬効性および可動的クラスへ一般化する。
• この論文は、擬効性ラインバンドル$L$と可動ラインバンドル$M$に対して、$\operatorname{vol}(L - M) \geq \operatorname{vol}(L) - n\langle L^{n-1}\rangle \cdot M$を証明する。
• 可動$(n-1,n-1)$-類の差に対するMorse型の大きさ基準を確立する：もし$\langle\alpha^n\rangle - n\alpha \cdot \langle\beta^{n-1}\rangle > 0$ならば、$\langle\alpha^{n-1}\rangle - \langle\beta^{n-1}\rangle$は正の強いcurrentを含む。
• 導出された不等式を用いて、Demaillyの予想と体積関数の$\mathcal{C}^1$-微分可能性の同値性が確認される。
• Demaillyの予想が成り立つ限り、結果はコンパクトハイパーカレル多様体へ拡張可能である。なぜなら、可動$(n-1,n-1)$-類は、大きな可動な$L$に対する$\langle L^{n-1}\rangle$として現れるからである。