[論文レビュー] Multi-Dirac Structures and Hamilton-Pontryagin Principles for Lagrange-Dirac Field Theories

Joris Vankerschaver, Hiroaki Yoshimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 66被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、第一階の古典的場理論を幾何学的・内挿的に定式化するための、Dirac構造の階数付き一般化としての多重Dirac構造を導入する。ハミルトン＝ポントリャーギン原理から導かれる陰的なオイラー＝ラグランジュ方程式が、多重量Dirac構造に自然に埋め込まれることを確立し、これらの構造が多重量Poisson括弧を誘導し、可積分性条件を介して非ホロノミック制約へ一般化されることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to define the concept of multi-Dirac structures and to describe their role in the description of classical field theories. We begin by outlining a variational principle for field theories, referred to as the Hamilton-Pontryagin principle, and we show that the resulting field equations are the Euler-Lagrange equations in implicit form. Secondly, we introduce multi-Dirac structures as a graded analog of standard Dirac structures, and we show that the graph of a multisymplectic form determines a multi-Dirac structure. We then discuss the role of multi-Dirac structures in field theory by showing that the implicit field equations obtained from the Hamilton-Pontryagin principle can be described intrinsically using multi-Dirac structures. Furthermore, we show that any multi-Dirac structure naturally gives rise to a multi-Poisson bracket. We treat the case of field theories with nonholonomic constraints, showing that the integrability of the constraints is equivalent to the integrability of the underlying multi-Dirac structure. We finish with a number of illustrative examples, including time-dependent mechanics, nonlinear scalar fields and the electromagnetic field.

研究の動機と目的

• 第一階の古典的場理論のための幾何学的枠組みを、Dirac構造の階数付き一般化を用いて開発すること。
• ハミルトン＝ポントリャーギン原理から得られる陰的な場の運動方程式が、多重量Dirac構造を用いて内挿的に記述できることを示すこと。
• 多重量Dirac構造から自然に生じる多重量Poisson括弧構造を確立すること。
• 非ホロノミック場理論への形式の拡張を行い、多重量Dirac構造の可積分性を用いて制約の可積分性を特徴づけること。
• 時間に依存する力学、スカラー場、電磁場を含む具体例を含め、場の運動方程式の幾何的統合と内挿的定式化を提供すること。

提案手法

• 配置変数と速度変数を独立に取り扱うことで、場理論に適用可能な変分原理（ハミルトン＝ポントリャーギン原理）を提案し、運動学的制約 $\dot{q} = v$ をラグランジュ乗数 $p$ を用いて強制する。
• ジャネットバンドルの接バンドルと余接バンドルの直和の部分バンドルとして、階数付きの多重量Dirac構造を定義し、標準的なDirac構造を高次元に一般化する。
• 多シンプレクティック形式のグラフが自然に多重量Dirac構造を定義することを示し、シンプレクティック幾何学と場理論を結びつける。
• 多重量Dirac構造の内挿的構造を用いて、明示的なパrametrizationなしに、陰的な運動方程式を記述すること。
• 多重量Dirac構造から多重量Poisson括弧を導出し、場理論的状況へのPoisson括弧の一般化を実現する。
• 制約の可積分性が、関連する多重量Dirac構造の可積分性と同値であることを示すことにより、非ホロノミック系にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン＝ポントリャーギン原理を、幾何的・内挿的に第一階の場理論に一般化する方法は何か？
• RQ2 多重量Dirac構造は、Lagrange-Dirac場理論の陰的な場の運動方程式をどのように記述するか？
• RQ3 多重量Dirac構造は、場理論においてどのように多重量Poisson括弧を生じさせるか？
• RQ4 非ホロノミック制約の場理論における可積分性の幾何的条件は何か？ そしてそれは多重量Dirac構造とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、非線形スカラー場や電磁場といった物理的に重要な場理論に適用可能か？

主な発見

• ハミルトン＝ポントリャーギン原理から導かれる陰的な場の運動方程式が、多重量Dirac構造の幾何学的性質に自然に埋め込まれていることが示された。
• ジャネットバンドル上の多シンプレクティック形式のグラフが自然に多重量Dirac構造を定義し、場理論の幾何的基盤を提供する。
• 任意の多重量Dirac構造に対して、自然に多重量Poisson括弧が関連づけられ、Poisson括弧が場理論的状況に一般化される。
• 非ホロノミック場理論において、制約分布の可積分性は、関連する多重量Dirac構造の可積分性と同値である。
• この枠組みは、時間に依存する力学、非線形スカラー場、電磁場といった具体例をうまく記述でき、有効性が確認された。
• コンtraction $\mathcal{X} \vrule height=0.0pt,depth=0.4pt,width=3.0pt\vrule height=7.0pt,depth=0.4pt\kern 3.0pt\Omega_M$ の計算により、場の運動方程式 (5.7) が得られ、変分原理と整合していることが確認された。