[論文レビュー] Multigrid Methods for Hellan-Herrmann-Johnson Mixed Method of Kirchhoff Plate Bending Problems

Long Chen, Jun Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、キルヒホフ板の曲げ問題に対するヘラン＝ハリマン＝ジョンソン（HHJ）混合有限要素離散化に対して、核空間の安定的多層分解に基づく乗法的スワーツ smoother を用いた V サイクル multigrid 法を開発する。主な貢献は、完全な楕円的正則性を仮定しないまま、正確な系列と強化されたコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、1回のスムージングステップで一様収束を示すことである。

ABSTRACT

A V-cycle multigrid method for the Hellan-Herrmann-Johnson (HHJ) discretization of the Kirchhoff plate bending problems is developed in this paper. It is shown that the contraction number of the V-cycle multigrid HHJ mixed method is bounded away from one uniformly with respect to the mesh size. The uniform convergence is achieved for the V-cycle multigrid method with only one smoothing step and without full elliptic regularity. The key is a stable decomposition of the kernel space which is derived from an exact sequence of the HHJ mixed method, and the strengthened Cauchy Schwarz inequality. Some numerical experiments are provided to confirm the proposed V-cycle multigrid method. The exact sequences of the HHJ mixed method and the corresponding commutative diagram is of some interest independent of the current context.

研究の動機と目的

• キルヒホフ板曲げ問題の HHJ 混合有限要素法離散化から生じる鞍点系に対する効率的な multigrid スolver を開発すること。
• 完全な楕円的正則性の仮定を排除し、非凸領域でも収束可能にする。
• 通常は多数のスムージングステップを要するが、1回のスムージングステップで V サイクル multigrid 法の収束を一様に達成すること。
• HHJ 定式化における発散-発散作用素に関連する核空間の安定的多層分解を確立すること。

提案手法

• 発散作用素の核の多層分解に基づく乗法的スワーツ smoother を用いた V サイクル multigrid アルゴリズムを設計する。
• 連続および離散レベルにおける HHJ 混合有限要素法の正確な系列構造を活用する。
• 離散的正確系列とヘラン＝ハリマン＝ジョンソン混合定式化の性質を用いて、核空間の安定的分解を構築する。
• 安定性および収束解析を支援するため、強化されたコーシー＝シュワルツ不等式を証明する。
• HHJ 法における有限要素空間のネスト構造に起因し、標準的な射影 prolongation 操作子を用いる。
• 収束解析は [21] の枠組みに基づき、最小限のスムージングで HHJ 混合法に適応したものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な楕円的正則性を仮定しない HHJ 混合法に対する V サイクル multigrid 法が、キルヒホフ板曲げ問題で一様収束を達成できるか？
• RQ2 多数または多くのスムージングステップを要するのではなく、1回のスムージングステップで一様収束を達成できるか？
• RQ3 HHJ 混合法における発散-発散作用素の核空間の安定的多層分解をどのように構築できるか？
• RQ4 正確な系列と強化されたコーシー＝シュワルツ不等式が、multigrid 法の一様収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 提案手法は、L 字型領域を含む非凸領域でも最適収束率を維持するか？

主な発見

• V サイクル multigrid 法の収縮数は、メッシュサイズに関係なく 1 から離れて有界であり、一様収束を保証する。
• 1回の前処理および1回の後処理スムージングステップで十分であり、多数のスムージングステップを要する手法と比較して計算コストを著しく削減する。
• 正方形および L 字型領域における数値実験により、メッシュサイズが小さくなるにつれて反復回数がほぼ一定に保たれ、一様収束が裏付けられる。
• 単位正方形で ν=0.3 の場合、‖u−uₕ‖₀ と |u−uₕ|₁ の収束率はそれぞれ O(h²) および O(h) であり、最適収束次数が確認される。
• 表 1 の反復回数はメッシュの細分化にかかわらず安定している：正方形領域ではレベル 6 で 23 ステップ、L 字型領域では (1,1) スムージングで 20 ステップ。
• 完全な正則性がなくても性能が維持されることを、f=1 および ν=0 の L 字型領域テストにより示しており、反復回数は低く安定している。