[논문 리뷰] Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 05.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 54인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 립시츠 연속성 조건을 만족하는 확산 계수에서 비선형성을 가진 고차원 반선형 제2형 타입 PDE에 대해, 다중수준 피카르(MLP) 근사 방법을 제안하며, 차원의 고통의 문제를 극복한다. 이 방법은 정확도 $\varepsilon^{-1}$과 차원 $d$에 대해 다항식 복잡도를 달성하여, 계산 비용이 $d$와 $\varepsilon^{-1}$에 대해 최대 다항식적으로 증가함을 증명하며, 이전의 애매한 선형 확산 계수에 국한된 MLP 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The recently introduced full-history recursive multilevel Picard (MLP) approximation methods have turned out to be quite successful in the numerical approximation of solutions of high-dimensional nonlinear PDEs. In particular, there are mathematical convergence results in the literature which prove that MLP approximation methods do overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of nonlinear second-order PDEs in the sense that the number of computational operations of the proposed MLP approximation method grows at most polynomially in both the reciprocal $1/ε$ of the prescribed approximation accuracy $ε>0$ and the PDE dimension $d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$. However, in each of the convergence results for MLP approximation methods in the literature it is assumed that the coefficient functions in front of the second-order differential operator are affine linear. In particular, until today there is no result in the scientific literature which proves that any semilinear second-order PDE with a general time horizon and a non affine linear coefficient function in front of the second-order differential operator can be approximated without the curse of dimensionality. It is the key contribution of this article to overcome this obstacle and to propose and analyze a new type of MLP approximation method for semilinear second-order PDEs with possibly nonlinear coefficient functions in front of the second-order differential operators. In particular, the main result of this article proves that this new MLP approximation method does indeed overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear second-order PDEs.

연구 동기 및 목표

• 비선형 선형 확산 계수를 가진 반선형 제2형 타입 PDE에 대해 MLP 방법이 차원의 고통의 문제를 극복할 수 있는지 여부라는 열린 문제를 다루는 것.
• 제2형 연산자에서 애매한 선형 계수에 대한 제한적인 가정을 초월하여 MLP 근사의 이론적 기반을 확장하는 것.
• 일반적인 립시츠 연속성 확산 계수에 적용 가능한 새로운 MLP 스킴에 대한 엄밀한 수렴 분석을 수립하는 것.
• 제안된 방법의 계산 복잡도가 정확도의 역수 $\varepsilon^{-1}$과 공간 차원 $d$에 대해 다항식적으로 증가함을 보이는 것.

제안 방법

• 반선형 PDE를 랜덤 적분 연산자의 고정점이 되는 스토케스틱 고정점 방정식으로 재구성한다.
• 이전 수준보다 더 정밀한 시간 분할에 대한 중첩된 기대값을 사용하여, 고정점 반복을 근사하기 위해 전역 역사 재귀 다중수준 몬테카를로 방법을 적용한다.
• 각 수준 $n$이 이전 수준을 $M^n$개의 경로를 사용한 재귀 몬테카를로 샘플링을 통해 정밀화하는 계층적 근사값 $U_{n,M}^{d,\theta}$를 사용한다.
• 핵심 구성 요소로는 함수 공간에 값을 갖는 그론발라 유형 부등식을 사용한 재귀 오차 경계 분석과 스토케스틱 고정점 방정식에 대한 편미분 분석이 포함된다.
• 기본 SDE에 대해 유진-마루야마 이산화를 적용하고, 근사 오차에 대한 재귀 경계를 통한 오차 전파를 통제한다.
• 복잡도 분석은 총 계산 비용 $\mathfrak{C}_{d,n,M}$을 $M^n$, $d$, 문제 파라미터에 대해 경계함으로써 수행되며, 이는 $d$와 $\varepsilon^{-1}$에 대해 다항식 증가함을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 립시츠 연속성 확산 계수를 가진 반선형 제2형 타입 PDE에 대해 MLP 근사 방법이 차원의 고통의 문제를 극복할 수 있는가?
• RQ2 확산 계수가 비선형인 경우, 제안된 MLP 스킴이 차원 $d$와 정확도의 역수 $\varepsilon^{-1}$에 대해 다항식 복잡도를 유지하는가?
• RQ3 제2형 연산자에서 비선형성이 존재하는 상황에서 MLP 근사의 재귀 오차 구조를 엄밀하게 어떻게 경계할 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 유형의 PDE에 대해 계산 비용이 PDE의 차원 $d$와 원하는 정확도 $\varepsilon$에 대해 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 제안된 MLP 근사 방법은 $L^2$-기준에서 오차가 최대 $\varepsilon$ 이하가 되며, 계산 비용이 $\mathfrak{c}(1 + d\mathfrak{v})d^{(\gamma+4)(2c+2)}\varepsilon^{-(\gamma+4)}$ 이하로 경계된다.
• 계산 복잡도가 차원 $d$와 정확도의 역수 $\varepsilon^{-1}$에 대해 다항식적으로 증가함을 증명하여, 이 방법이 차원의 고통의 문제를 극복함을 입증한다.
• 이 방법은 일반적인 시간 수명과 비선형 선형 확산 계수를 가진 PDE에 적용 가능하며, 이전 결과가 애매한 선형 사례에 국한된 것을 확장한다.
• 함수 공간에 값을 갖는 그론발라 부등식을 통한 비재귀 오차 경계를 수립하고, PDE에서 비선형성의 립시츠 연속성 조건 하에서 수렴을 증명한다.
• 다중수준 몬테카를로 스킴의 재귀 비용 분석을 통해 복잡도 경계를 도출하였으며, 경로 수와 수준 수에 대한 명시적 통제가 가능하다.