[論文レビュー] Multiple Source Dual Fault Tolerant BFS Trees

Manoj Gupta, Shahbaz Khan|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおける複数のソースからの二重障害耐性BFS木を構築するための新規アルゴリズムを提案する。この手法により、同時に二つのエッジ障害が発生しても効率的な回復が可能になる。障害集合ごとに回避する優先パスを動的に選択し、段階的にバックアップ構造を構築することで、最適なエッジ追加オーバーヘッドで最短経路の耐障害性を確保し、すべての2エッジ障害組み合わせに対して完全な障害耐性を達成する。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph with $n$ vertices and $m$ edges, with a designated set of $σ$ sources $S\subseteq V$. The fault tolerant subgraph for any graph problem maintains a sparse subgraph $H$ of $G$, such that for any set $F$ of $k$ failures, the solution for the graph problem on $G\setminus F$ is maintained in $H\setminus F$. We address the problem of maintaining a fault tolerant subgraph for Breath First Search tree (BFS) of the graph from a single source $s\in V$ (referred as $k$ FT-BFS) or multiple sources $S\subseteq V$ (referred as $k$ FT-MBFS). The problem of $k$ FT-BFS was first studied by Parter and Peleg [ESA13]. They designed an algorithm to compute FT-BFS subgraph of size $O(n^{3/2})$. Further, they showed how their algorithm can be easily extended to FT-MBFS requiring $O(σ^{1/2}n^{3/2})$ space. They also presented matching lower bounds for these results. The result was later extended to solve dual FT-BFS by Parter [PODC15] requiring $O(n^{5/3})$ space, again with matching lower bounds. However, their result was limited to only edge failures in undirected graphs and involved very complex analysis. Moreover, their solution doesn't seems to be directly extendible for dual FT-MBFS problem. We present a similar algorithm to solve dual FT-BFS problem with a much simpler analysis. Moreover, our algorithm also works for vertex failures and directed graphs, and can be easily extended to handle dual FT-MBFS problem, matching the lower bound of $O(σ^{1/3}n^{5/3})$ space described by Parter [PODC15].The key difference in our approach is a much simpler classification of path interactions which formed the basis of the analysis by Parter [PODC15]. Our dual FT-MBFS structure also seamlessly gives a dual fault tolerant spanner with additive stretch of +2 having size $O(n^{7/8})$.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおいて、最大2つの同時エッジ障害が発生する状況下でも最短経路接続性を維持する課題に対処すること。
• すべての可能な2エッジ障害組み合わせに対して、過剰なストレージや事前処理を伴わずにバックアップパスを事前計算する効率的なアルゴリズムを設計すること。
• サイズが2以下のすべての障害集合に対して、完全な障害耐性を達成するために必要な追加エッジ数を最小限に抑えること。
• すべての障害集合 F（|F| = 0, 1, 2 の場合）に対して、ソース s から各頂点 v への最短パスが、F を避ける優先パスを通じて利用可能であることを保証すること。

提案手法

• 各障害集合 F（|F| ≤ 2）に対して、事前に定義された順序 π に従って、F に含まれるすべてのエッジを避ける s から v への優先パス P を計算する。
• パス P の最後のエッジ LastE(P) がバックアップエッジ集合 H にすでに含まれているかを確認する。含まれていない場合は、P を F のフォールバックパスとし、LastE(P) を H に追加する。
• パス選択は、F を回避する制約のもとで最短パスを優先するため、障害状態下でもパスの最適性を保証する。
• サイズの小さい順および辞書式順序に従って、すべての障害集合に対して繰り返し処理を行い、一貫性があり決定論的なパス割り当てを保証する。
• 段階的に最小限のエッジ集合 H を構築し、すべての2エッジ障害シナリオにおける障害耐性を実現する。
• アルゴリズムは、すべての障害集合 F に対して、元のグラフと追加された集合 H のエッジのみを用いて、対応する最短パスが確保されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限のオーバーヘッドで、有向グラフにおけるすべての可能な二重エッジ障害下でも最短パスを維持できる効率的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 有向グラフにおけるBFS木の二重障害耐性を達成するために、最小でどの程度の追加エッジが必要か？
• RQ3 サイズ ≤ 2 のすべての障害集合に対して、一貫性と最適性を保証するためのパス選択を体系的に順序付けられるか？
• RQ4 各障害集合に対してパスを再計算せずに、段階的に障害耐性構造を構築することは可能か？
• RQ5 どのようなグラフ構造的性質が、複数障害下でも決定論的かつ最適なパス割り当てを可能にするか？

主な発見

• アルゴリズムは、|F| ≤ 2 であるすべての障害集合に対して、障害耐性のあるBFS構造を正常に構築する。
• 追加エッジの数が最小限に抑えられており、各新しい優先パスの LastE(P) のみが H に追加されるためである。
• すべての障害集合 F に対して、割り当てられた優先パス P を通じて、s から v への有効な最短パスが利用可能であることを保証する。
• 障害集合に対して決定論的かつ順序付けられた方法で処理を行うため、一貫性のあるパス選択が実現され、重複を回避する。
• 最適なエッジ拡張を用いて完全な障害耐性を達成し、すべての2エッジ障害シナリオにおいてパスの最適性を維持する。
• 処理は障害集合を順に処理し、必要に応じてのみエッジを追加するため、効率的かつスケーラブルである。