[論文レビュー] Multisoliton solutions of the vector nonlinear Schrödinger equation (Kulish-Sklyanin model) and the vector mKdV equation

Takayuki Tsuchida|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、クリフォード代数の生成子に明示的な依存を含めない非標準的なLax表現に二重ダーブー変換を適用することで、ベクトル非線形シュレーディンガー方程式（Kulish-Sklyaninモデル）の一般Nソリトン解の閉形式で古典的な表現を提示する。この手法は、可積分系の階層における3次フローの還元により、ベクトルmKdV方程式のマルチソリトン解およびマルチブレーカー解を導出するために拡張される。

ABSTRACT

There exist two natural vector generalizations of the completely integrable nonlinear Schrödinger (NLS) equation in $1+1$ dimensions: the well-known Manakov model and the lesser-known Kulish-Sklyanin model. In this paper, we propose a binary Darboux (or Zakharov-Shabat dressing) transformation that can be directly applied to the Kulish-Sklyanin model. By deriving a simple closed expression for iterations of the binary Darboux transformation, we obtain an explicit formula for the $N$-soliton solution of the Kulish-Sklyanin model under vanishing boundary conditions. Because the third-order symmetry of the vector NLS equation can be reduced to a vector generalization of the modified KdV (mKdV) equation, we can also obtain multisoliton (or multi-breather) solutions of the vector mKdV equation in closed form.

研究の動機と目的

• クリフォード代数の生成子に依存しない、Kulish-Sklyaninモデルの一般Nソリトン解の閉形式で古典的な表現を導出すること。
• 可積分系の階層における3次フローの還元を通じて、ベクトルmKdV方程式のマルチソリトン解を計算する実用的な手法を開発すること。
• 既存の解における非古典的表現の複雑さを解消し、使いやすい明示的公式に翻訳すること。
• 実数値で対称的かつ正定値行列構造を持つベクトルmKdV方程式のマルチソリトンおよびマルチブレーカー解を構成する体系的な枠組みを提供すること。

提案手法

• クリフォード代数の生成子を含まないKulish-Sklyaninモデルの非標準的なLax表現を提案する。
• この非標準的なLax表現に二重ダーブー変換を適用し、Nソリトン解を生成する。
• 二重ダーブー変換のN重反復に対する簡単な閉形式の表現を導出し、Nソリトン解の明示的構成を可能にする。
• 可積分系の階層における3次等スペクトルフローを用い、条件 $\mathbf{q} = \mathbf{q}^*$ の下でベクトルmKdV方程式に還元する。
• 実対称かつ正定値行列 $B$ を持つ一般化されたベクトルmKdV方程式に、マルチ重ねの二重ダーブー変換を適応させ、実数値解を得る。
• 時間依存性を $\mathbf{c}_j e^{-\eta_j x + \eta_j^3 y + \eta_j^{-1} z}$ に変更することで、解をベクトルサインゴルドン方程式に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kulish-SklyaninモデルのNソリトン解について、クリフォード代数の生成子に明示的な依存を含めない閉形式で古典的な表現を導出できるか？
• RQ2 非標準的なLax表現に二重ダーブー変換をどのように適用すれば、Nソリトン解の簡単で明示的な公式を得られるか？
• RQ3 可積分系の階層における3次フローから導かれるベクトルmKdV方程式のマルチソリトンおよびマルチブレーカー解の構造は何か？
• RQ4 内部自由度の観点から、ベクトルmKdV方程式におけるソリトン相互作用はスカラーの場合とどのように異なるか？
• RQ5 この手法は、ベクトルサインゴルドン方程式における追加の時間変数（例：z変数）に一般化可能か？その場合、ソリトン挙動にどのような影響があるか？

主な発見

• 本稿では、非標準的なLax表現にN重の二重ダーブー変換を適用することで、Kulish-SklyaninモデルのNソリトン解の簡単で閉形式の表現を導出する。この表現は、クリフォード代数の生成子に明示的な依存を含まない。
• 得られた解は、複素パラメータ $\eta_j$、ベクトル $\mathbf{c}_j$、および余因子 $\Gamma(j,k)$ を含む行列式で表され、$\langle \mathbf{c}_j, \mathbf{c}_j \rangle = 0$ かつ $\eta_{M+j} = \eta_j^*$、$\mathbf{c}_{M+j} = \mathbf{c}_j^*$（$j=1,\dots,M$）の条件を満たす。
• ベクトルmKdV方程式に対しては、$\langle \mathbf{c}_j, \mathbf{c}_k \rangle$ を $\langle \mathbf{c}_j B, \mathbf{c}_k \rangle$ に置き換え、$\langle \mathbf{c}_j B, \mathbf{c}_j \rangle = 0$ の条件を課すことにより、一般の実数値Mソリトン解が得られる。
• 解の公式は、$q = \frac{\sum_{j=1}^{2M} (1,\dots,j-1,\beta,j+1,\dots,4M) \mathbf{c}_j e^{-\eta_j x + \eta_j^3 y}}{(1,2,\dots,4M)}$ とコンactに表現され、ここで $\beta$ は余因子行列式のプレースホルダーである。
• 本手法により、文献に見られる矛盾を解消し、ソリトン相互作用が非自明であり、内部自由度に依存することを示した。これは、スカラー的挙動であるとされる主張とは対照的である。
• 時間依存性をz変数を含む形に拡張することで、このアプローチはベクトルサインゴルドン方程式に一般化され、平方根における符号の不確実性を伴うMソリトン解が得られる。