[論文レビュー] Musielak-Orlicz Hardy Spaces Associated with Operators and Their Applications

Dachun Yang, Sibei Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、倍加測度を備えた距離測度空間上での非負自己共役作用素 $L$ がDavies-Gaffney推定を満たす場合に、Musielak-Orlicz-Hardy空間 $H_{\phi,L}(X)$ を導入する。原子的および分子的特徴づけを確立し、双対空間がMusielak-Orlicz BMO型空間であることを証明し、Schr"odinger作用素 $L = -\Delta + V$ に対して $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ から $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ および $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ へのRiesz変換の有界性を、成長関数 $\phi$ の条件下で示す。主な貢献は、作用素設定下でのこれらの一般化されたHardy空間に対する包括的な実変数理論の構築である。

ABSTRACT

Let $\mathcal{X}$ be a metric space with doubling measure and $L$ a nonnegative self-adjoint operator in $L^2(\mathcal{X})$ satisfying the Davies-Gaffney estimates. Let $φ:\,\mathcal{X} imes[0,\infty) o[0,\infty)$ be a function such that $φ(x,\cdot)$ is an Orlicz function, $φ(\cdot,t)\in A_{\infty}(\mathcal{X})$ (the class of Muckenhoupt weights) and its uniformly critical lower type index $i(φ)\in(0,1]$. In this paper, the authors introduce a Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ by the Lusin area function associated with the heat semigroup generated by $L$, and a Musielak-Orlicz $\mathop\mathrm{BMO}$-type space $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ which is further proved to be the dual space of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$; as a corollary, the authors obtain the $φ$-Carleson measure characterization of $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$. Characterizations of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$, including the atom, the molecule and the Lusin area function associated with the Poisson semigroup of $L$, are presented. Using the atomic characterization, the authors characterize $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ in terms of $g^\ast_{λ,\,L}$. As further applications, the authors obtain several equivalent characterizations of the Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathbb{R}^n)$ associated with the Schrödinger operator $L=-Δ+V$, where $0\le V\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ is a nonnegative potential, in terms of the Lusin-area function, the non-tangential maximal function, the radial maximal function, the atom and the molecule.

研究の動機と目的

• 距離測度空間に倍加測度を備えた非負自己共役作用素 $L$ に対して、Musielak-Orlicz-Hardy空間 $H_{\phi,L}(X)$ の実変数理論を構築すること。
• 作用素 $L$ の熱半群およびポアソン半群に関連するLusin面積関数を用いて、$H_{\phi,L}(X)$ を原子、分子、およびLusin面積関数によって特徴づけること。
• $H_{\phi,L}(X)$ の双対空間がMusielak-Orlicz BMO型空間 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ であることを証明し、その $\phi$-Carleson測度による特徴づけを導出すること。
• $H_{\phi,L}(X)$ 上でのH"ormander型スペクトル乗数定理を、原子分解を用いて確立すること。
• Schr"odinger作用素 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ で局所可積分) を $\mathbb{R}^n$ 上に適用し、$H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 上でのRiesz変換 $\nabla L^{-1/2}$ の有界性を証明すること。

提案手法

• 成長関数 $\phi: X \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ が一様 $A_\infty$ 条件および逆H"older条件を満たすものとして、熱半群 $e^{-tL}$ に関連するLusin面積関数を用いて $H_{\phi,L}(X)$ を定義する。
• Musielak-Orlicz BMO型空間 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ を導入し、原子分解および双対性技法を用いて、それが $H_{\phi,L}(X)$ の双対空間であることを証明する。
• $L$ に適した $(\phi,M,0)$-原子および $(\phi,M,\epsilon)$-分子を構成することにより、$H_{\phi,L}(X)$ の原子的および分子的特徴づけを確立する。
• 原子分解を用いて、$H_{\phi,L}(X)$ をLittlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-関数 $g^*_{\lambda,L}$ を用いて特徴づけ、H"ormander型スペクトル乗数定理を導出する。
• $\mathbb{R}^n$ 上のSchr"odinger作用素に理論を適用し、$H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ に対して、非接線的 maximal、径方向 maximal、原子、分子による特徴づけが同値であることを証明する。
• $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ から $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ へのRiesz変換 $\nabla L^{-1/2}$ の有界性を、$i(\phi) \in (0,1]$ のとき、また $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ への有界性を $i(\phi) \in (\frac{n}{n+1},1]$ のとき証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素 $L$ が倍加測度を備えた距離測度空間上に存在する場合、Musielak-Orlicz-Hardy空間 $H_{\phi,L}(X)$ をどのように定義し、特徴づけることができるか？
• RQ2 $H_{\phi,L}(X)$ の双対空間は何か？また、$\phi$-Carleson測度を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 Riesz変換 $\nabla L^{-1/2}$ が $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ から $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ および $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ への有界性を示すための条件は何か？
• RQ4 Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-関数およびスペクトル乗数は $H_{\phi,L}(X)$ 上で有界であるか？その保証となる条件は何か？
• RQ5 Schr"odinger作用素 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ で局所可積分) に対して、$H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ の同値特徴づけは何か？

主な発見

• $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ が $H_{\phi,L}(X)$ の双対空間であることが証明され、その双対性から $\phi$-Carleson測度による特徴づけが導出された。
• $\phi$ および $L$ に対する与えられた仮定のもとで、$H_{\phi,L}(X)$ は原子、分子、および $L$ のポアソン半群に関連するLusin面積関数による同値特徴づけを持つ。
• Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-関数 $g^*_{\lambda,L}$ は $H_{\phi,L}(X)$ 上で有界であり、$L$ に対するH"ormander型スペクトル乗数定理がこの空間上で確立された。
• $\mathbb{R}^n$ 上のSchr"odinger作用素 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ で局所可積分) に対して、$H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ は非接線的 maximal 関数、径方向 maximal 関数、原子、分子による特徴づけが同値である。
• $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ から $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ へのRiesz変換 $\nabla L^{-1/2}$ は、一様臨界的下位型指数 $i(\phi) \in (0,1]$ のとき有界であり、$H_\phi(\mathbb{R}^n)$ への有効性は $i(\phi) \in (\frac{n}{n+1},1]$ のとき成立する。
• $(\phi,M,0)$-原子 $\alpha$ に対する $\nabla L^{-1/2}\alpha$ の原子分解が $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上で収束し、一様な $\phi$-ノルムの有界性を満たすことが示され、$\nabla L^{-1/2}$ の $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 上での有界性が導かれた。