[論文レビュー] N=4 Superconformal Bootstrap of the K3 CFT

Ying-Hsuan Lin, Shu-Heng Shao+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブートストラップをK3非線形シグマ模型に適用し、$c=28$ における ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブロックとボソン的Virasoroブロックの正確な写像を活用して、非BPSスペクトルを制約する。ストリング理論の有効作用素からの統合された4点関数を用いてモジュライ依存性を符号化することで、非BPSギャップおよび臨界次元 $\widehat{\Delta}_{ \text{crt}}$ の厳密な境界を導出し、$A_{1111}$ が $\widehat{\Delta}_{ \text{crt}} < \Delta_{ \text{crt}}$ の場合にのみ発散しないことを示し、これによりシガール点で矛盾が生じ、スペクトルが制約されることを証明する。

ABSTRACT

We study two-dimensional (4,4) superconformal field theories of central charge c=6, corresponding to nonlinear sigma models on K3 surfaces, using the superconformal bootstrap. This is made possible through a surprising relation between the BPS N=4 superconformal blocks with c=6 and bosonic Virasoro conformal blocks with c=28, and an exact result on the moduli dependence of a certain integrated BPS 4-point function. Nontrivial bounds on the non-BPS spectrum in the K3 CFT are obtained as functions of the CFT moduli, that interpolate between the free orbifold points and singular CFT points. We observe directly from the CFT perspective the signature of a continuous spectrum above a gap at the singular moduli, and find numerically an upper bound on this gap that is saturated by the $A_1$ N=4 cigar CFT. We also derive an analytic upper bound on the first nonzero eigenvalue of the scalar Laplacian on K3 in the large volume regime, that depends on the K3 moduli data. As two byproducts, we find an exact equivalence between a class of BPS N=2 superconformal blocks and Virasoro conformal blocks in two dimensions, and an upper bound on the four-point functions of operators of sufficiently low scaling dimension in three and four dimensional CFTs.

研究の動機と目的

• K3表面における ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォーム場理論の非BPSスペクトルを、モジュライ空間の特別な点を除いてはあまり理解されていない状況において制約すること。
• ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブロックと $c=28$ におけるボソン的Virasoroブロックの明確な関係を確立し、解析的および数値的ブートストラップ技術を可能にする。
• タイプIIBストリング理論の有効作用素からの正確な結果を用いて、K3 CFTのモジュライ依存性をブートストラップ枠組みに組み込む。
• OPE収束を支配するスケーリング次元の下限 $\Delta_{\text{gap}}$ および臨界次元 $\widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ の厳密な境界を導出すること。

提案手法

• 外部スピンが1、内部スピンが $h+1$ である ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブロック（$h=1/2$ BPSオペレーターを伴う）と $c=28$ におけるボソン的Virasoroブロックの正確な対応を利用する。
• Zamolodchikovの再帰関係を用いて、ブートストラップ解析における写像されたVirasoroブロックを数値的に評価する。
• タイプIIB有効作用素における4次および6次微分項に関する非摂動的結果から得られる統合4点関数 $A_{ijkl}$ を用いて、K3 CFTのモジュライ依存性を符号化する。
• $\widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ を、それより高い次元のOPE寄与項がそれ以下の寄与項によって有界であるとみなされる閾値として定義し、4点関数の積分の収束を保証する。
• 複素平面を対称な領域 $D_1, D_2, D_3$ に分割し、交差対称性を用いて $D_1$ に注目することで、$z$-積分を正則化する。
• ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブロックの境界を $L(\Delta) \sim |16q_{1/2}|^{\Delta}$ を用い、コーシー・シュワルツ不等式を適用して、異なる領域における4点関数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3 CFTにおける2つの $\frac{1}{2}$-BPSオペレーターのOPEにおける、最も軽い非BPSプライマリーのスケーリング次元の厳密な上限および下限は何か？
• RQ2 OPE寄与項の収束を支配する臨界次元 $\widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ は、K3 CFTのモジュライにどのように依存するか？
• RQ3 モジュライ空間の特別な点において統合4点関数 $A_{1111}$ が発散することを、ブートストラップ整合性を用いてスペクトルを制約するために利用できるか？
• RQ4 ${\cal N}=4$ スーパーレイノルトフォームブロックと $c=28$ におけるボソン的Virasoroブロックの正確な関係は何か？そして、これによりブートストラップ方程式がどのように簡略化できるか？

主な発見

• 本稿では、統合4点関数 $A_{1111}$ が $\widehat{\Delta}_{\text{crt}} < \Delta_{\text{crt}}$ でなければ発散することを証明し、これによりシガールCFTの $A_1$ 点で矛盾が生じ、$\widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ が $\Delta_{\text{crt}}$ より厳密に小さい必要があると結論づける。
• 4点関数が $z=1/2$ でとる値 $f(1/2)$ の関数として、非BPSスペクトルにおけるギャップ $\Delta_{\text{gap}}$ に対する非自明な下限が得られる。
• 解析的および数値的ブートストラップ技術を用いて、$\widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ の上界が上昇し、関数的最適化により改善された境界が得られる。
• 本手法により、$\Delta > \widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ を満たす非BPSプライマリーのOPE係数が、$\Delta \leq \widehat{\Delta}_{\text{crt}}$ のものによって有界であることが示され、4点関数の積分の収束が保証される。
• 解析により、OPE係数が有限で、スペクトル密度が有界であるという仮定の下で、K3 CFTの非BPSセクターにギャップ $\Delta_{\text{gap}} > 0$ が存在することが確認される。