[论文解读] Navigating in the Cayley graphs of SL_N(Z) and SL_N(F_p)

Tim Riley|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非确定性算法，将 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 和 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$ 中的元素表示为初等矩阵 $e_{ij}$ ($i \neq j$) 的字词，其字词长度被一个常数乘以矩阵范数的对数所界定。该方法通过压缩版的辗转相除法实现，从而给出了 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 的字度量与 $\log\|\mathcal{M}\|$ 之间双利普希茨等价的构造性证明，并建立了 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$ 的凯莱图直径的上界 $KN^2\log p$，其中 $K$ 为通用常数。

ABSTRACT

We give a non-deterministic algorithm that expresses elements of SL_N(Z), for N > 2, as words in a finite set of generators, with the length of these words at most a constant times the word metric. We show that the non-deterministic time-complexity of the subtractive version of Euclid's algorithm for finding the greatest common divisor of N > 2 integers a_1,..., a_N is at most a constant times N log n where n := max {|a_1|,..., |a_N|}. This leads to an elementary proof that for N > 2 the word metric in SL_N(Z) is biLipschitz equivalent to the logarithm of the matrix norm -- an instance of a theorem of Mozes, Lubotzky and Raghunathan. And we show constructively that there exists K>0 such that for all N > 2 and primes p, the diameter of the Cayley graph of SL_N(F_p) with respect to the generating set {e_{ij} \mid i eq j} is at most K N^2 \log p.

研究动机与目标

• 为 $N \geq 3$ 的 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 开发一种有效且构造性的标准形，使用初等矩阵生成元。
• 建立一个时间复杂度有界的非确定性算法，用于计算 $N \geq 3$ 个整数的最大公约数。
• 证明 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 的字度量与 $\log\|\mathcal{M}\|$ 双利普希茨等价，改进 Mozes、Lubotzky 和 Raghunathan 的结果。
• 为 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$ 的凯莱图提供关于初等矩阵生成集的构造性直径上界。
• 通过证明标准形无法共旅行，即使异步地，来解决 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 中标准形的几何复杂性问题。

提出的方法

• 使用基于斐波那契的压缩技术，将幂 $e_{ij}^m$ 表示为 $O(\log(1+|m|))$ 个初等矩阵的乘积。
• 将此压缩技术应用于非确定性版本的 $N \geq 3$ 个整数的减法辗转相除法中的重复加法或减法操作。
• 通过行变换将矩阵 $\mathcal{M} \in \mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 化为单位矩阵，将列视为整数的 $N$-元组。
• 利用压缩的辗转相除法在 $O(N\log n)$ 步内将 $\mathcal{M}$ 的列化为 $\mathbb{Z}^N$ 中的标准基向量，其中 $n = \max|a_i|$。
• 将约化后的矩阵变换为 $\mathbb{F}_p$ 上的上三角矩阵，然后通过压缩方法在每项上使用 $O(\log p)$ 次操作清除上对角线元素。
• 应用一系列受控初等矩阵，通过每对行使用 $O\left(\log p\right)$ 次操作，将 $\mathbb{F}_p$ 上的对角矩阵约化为单位矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $N \geq 3$ 个整数，减法辗转相除法的非确定性时间复杂度是多少？是否可以独立于输入大小进行有界？
• RQ2 如何通过显式算法证明 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 的字度量与 $\log\|\mathcal{M}\|$ 双利普希茨等价？
• RQ3 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$ 关于生成集 $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$ 的凯莱图的直径是多少？
• RQ4 是否可以设计出一种 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 的构造性标准形，使得其字长相对于最短字长呈线性有界？
• RQ5 这种标准形是否可能在凯莱图中同步或异步共旅行？

主要发现

• 对于 $N \geq 3$ 个整数，减法辗转相除法的非确定性时间复杂度为 $O(N\log n)$，其中 $n = \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|\}$，且存在一个与 $N$ 和 $n$ 无关的通用常数。
• 为 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 实现了构造性标准形，其字长至多为 $C_2 \log\|\mathcal{M}\|$，其中 $C_2 \leq C_3 N^N$，$C_3 > 0$ 为通用常数。
• $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 的字度量与 $\log\|\mathcal{M}\|$ 双利普希茨等价，存在常数 $C_1, C_2 > 0$，使得 $C_1 \log\|\mathcal{M}\| \leq \ell(\mathcal{M}) \leq C_2 \log\|\mathcal{M}\|$。
• $\mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$ 关于生成集 $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$ 的凯莱图直径至多为 $KN^2\log p$，其中 $K > 0$ 为通用常数。
• 为任意初等矩阵 $e_{ij}$ 建立了显式的字长上界 $10N$，即其可表示为生成元 $\mathcal{A}_N^{\pm 1}, \mathcal{B}_N^{\pm 1}$ 的字词，这些生成元用于生成全部初等矩阵集合。