[論文レビュー] Nearly Linear Time Algorithms and Lower Bound for Submodular Maximization

Wenxin Li, Ness B. Shroff|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、制約付きのサブモジュラ最大化のほぼ線形時間アルゴリズムを提示し、ほぼ最適な近似比を達成する：基数制約では(1−1/e−ε)、1つのナップサック制約では(7/16−ε)を達成し、O(n·max{ε⁻¹,log log n})のクエリを用いる。ストリーミング環境で定数近似を得るための適応的 decreasing しきい値手法を導入し、(1/4+ε)-近似の非制約最大化におけるクエリ複雑性下界をω(n/log n)として確立する。

ABSTRACT

In this work, we study constrained submodular maximization problems and design algorithms that improve the state-of-the-art performance guarantees. We first present a linear query complexity algorithm that achieves the approximation ratio of $(1-1/e-\varepsilon)$ for cardinality constraint and monotone objective. To the best of our knowledge, this is the first deterministic algorithm that achieves the almost optimal approximation using linear number of function evaluations. We next study the single knapsack constraint and achieve an approximation of $(7/16-\varepsilon)$ by $O(n\cdot \max\{\varepsilon^{-1},\log\log n\})$ queries. We note that in streaming setting our algorithm only requires two passes over the stream. The double logarithmic factor comes from our \emph{adaptive decreasing threshold} algorithm that is used to obtain a constant approximation of the optimal objective value. Furthermore, we show that there is an $(1/2-\varepsilon)$-approximate deterministic algorithm for constant number of binary packing constraints, which only makes $O_{\varepsilon}(\log \log n)$ queries per element. Lastly we present an improved algorithm for the intersection of $p$-system and $d$ knapsack constraint, which achieves an approximation ratio of $1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon$. In addition, a similar result can be obtained for non-monotone objective function. Query complexity lower bound of submodular maximization problems is also studied in this paper. We show that there exists no (randomized) $(1/4+\varepsilon)$-approximate algorithm using $o(n/\log n)$ queries for unconstrained submodular maximization. Combining with existing results, we present a complete characterization of the query complexity of unconstrained submodular maximization.

研究の動機と目的

• 線形またはほぼ線形のクエリ複雑性で、ほぼ最適な近似比を達成する、制約付きサブモジュラ最大化の決定的アルゴリズムの設計。
• 基数、ナップサック、p-システム/d-ナップサックの積集合など、さまざまな制約下での単調および非単調サブモジュラ関数に対する決定的アルゴリズムのギャップの解消。
• 特に1つのナップサックおよび複数のパッキング制約に対して、最小限のパス数とクエリオーバーヘッドを有する効率的なストリーミングアルゴリズムの開発。
• 非制約サブモジュラ最大化におけるクエリ複雑性の下界を厳密に確立し、効率的近似の限界を特定すること。

提案手法

• 各要素あたりO(log log n)クエリで最適解値を推定できる、新規な適応的 decreasing しきい値アルゴリズムを提案。これにより、ストリーミング環境でも定数近似が可能になる。
• 推定された最適値に基づいて動的に調整されるしきい値に基づくグリーディ選択戦略を採用。クエリ使用量を削減しながらも近似保証を維持する。
• 1つのナップサック制約に対して、2パスのストリーミングアルゴリズムを導入。O(n·max{ε⁻¹,log log n})クエリを用い、(7/16−ε)-近似を達成。
• 複数の2値パッキング制約を処理するため、再帰的パーティショニングとしきい値手法を適用。各要素あたりOε(log log n)クエリで(1/2−ε)-近似を達成。
• p-システムとd-ナップサック制約の積集合を扱うためのフレームワークの拡張を実施。(1/(p+7/4 d+1)−ε)-近似比を達成。
• 情報理論的議論を用いてクエリ複雑性下界を確立。非制約最大化において、いかなる(確率的) (1/4+ε)-近似アルゴリズムもo(n/log n)クエリでは使用できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調サブモジュラ最大化の基数制約下で、O(n)クエリのみを用いて(1−1/e−ε)-近似を達成できる決定的アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 ストリーミングモデル下で、1つのナップサック制約下のサブモジュラ最大化において、定数近似を達成するために必要な最小クエリ複雑性は何か？
• RQ3 複数の2値パッキング制約を、各要素あたりのクエリ複雑性を低く保ちつつ効率的に処理する方法は何か？
• RQ4 非制約サブモジュラ最大化において、1/4を超える近似比を達成するための最もタイトなクエリ複雑性下界は何か？
• RQ5 p-システムとd-ナップサック制約の積集合を扱えるように、このフレームワークを拡張可能か？その場合、定量的な近似比は得られるか？

主な発見

• 本稿は、基数制約下で単調サブモジュラ最大化に対して、O(n)クエリのみを用いて(1−1/e−ε)-近似を達成する最初の決定的アルゴリズムを提示した。
• 1つのナップサック制約下では、O(n·max{ε⁻¹,log log n})クエリを用い、ストリーミングモデルで2パスのみで(7/16−ε)-近似を達成した。
• 新規な適応的 decreasing しきち値手法により、2値パッキング制約の定数個数に対して、各要素あたりO(log log n)クエリで定数近似が可能になった。
• p-システムとd-ナップサック制約の積集合を扱うアルゴリズムは、(1/(p+7/4 d+1)−ε)-近似比を達成し、非単調目的関数への拡張も可能となった。
• 本稿では、非制約サブモジュラ最大化におけるいかなる(確率的) (1/4+ε)-近似アルゴリズムに対しても、o(n/log n)クエリでは使用できないことを示すクエリ複雑性下界ω(n/log n)を確立し、この問題のクエリ複雑性の特徴付けを完成させた。