[論文レビュー] New weighted $L^2$-type tests for the inverse Gaussian distribution

James Allison, Steffen Betsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数方程式に結びつくスタイン型特徴付けに基づき、逆ガウス分布に対する重み付き $L^2$-型適合度検定の新クラスを提案する。提案手法は、両辺の経験的推定値の間の重み付き $L^2$-距離を計算し、有意水準の臨界値にはパラメトリックブートストラップを用いる。このアプローチにより、漸近的有効性と一貫性が達成される。シミュレーション研究では、多様な代替仮説に対して優れた検出力を見せる。

ABSTRACT

We propose a new class of goodness-of-fit tests for the inverse Gaussian distribution. The proposed tests are weighted $L^2$-type tests depending on a tuning parameter. We develop the asymptotic theory under the null hypothesis and under a broad class of alternative distributions. These results are used to show that the parametric bootstrap procedure, which we employ to implement the test, is asymptotically valid and that the whole test procedure is consistent. A comparative simulation study for finite sample sizes shows that the new procedure is competitive to classical and recent tests, outperforming these other methods almost uniformly over a large set of alternative distributions. The use of the newly proposed test is illustrated with two observed data sets.

研究の動機と目的

• 既存の手法よりも優れた検出力を有する逆ガウス分布のための新しい適合度検定クラスの開発。
• 最近確立された逆ガウス分布のスタイン型特徴付けを活用し、関数方程式に基づく新しい検定統計量の構築。
• 帰無仮説の下で名目水準を維持するパラメトリックブートストラップ手順の有効性を保証することで、検定の漸近的有効性を確立。
• 広範なシミュレーション研究を通じて、連続代替仮説下での一貫性と有限標本における性能を確立。
• 実世界のデータ（信頼性工学および気象学分野）を用いた応用例を通じて、検定の実用的有用性を提示。

提案手法

• 本検定は、逆ガウス分布のスタイン型特徴付けに基づく関数方程式に依拠する。具体的には、論文の式 (3) に示されるもので、累積分布関数と確率変数そのものおよびその逆数を含む期待値を結びつける。
• 検定統計量は、特徴付け方程式の左辺の経験的バージョンと右辺の経験的分布関数との間の重み付き $L^2$-距離として定義される。
• 重み関数に含まれる調整パrameter $a$ により、さまざまな代替分布の検出に柔軟性が与えられ、その選択が検出力に与える影響は限定的であることが示されている。
• 臨界値の計算にはパラメトリックブートストラップが用いられ、帰無仮説の下での検定の漸近的有効性が保証される。
• 帰無仮説および広範な連続代替仮説の下で漸近的理論が構築され、検定の一貫性が裏付けられる。
• 検定手順において、逆ガウス分布のパラメータ $\mu$ と $\lambda$ の推定には最尤推定法とモーメント法が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタイン型特徴付けを用いて、逆ガウス分布のための新しい $L^2$-型適合度検定を構築可能か？
• RQ2 パラメトリックブートストラップを用いる場合、有限標本において名目水準が維持されるか？
• RQ3 広範な代替分布に対して、提案手法の検出力は古典的および最近の適合度検定と比較してどのように異なるか？
• RQ4 連続代替仮説の下で検定の一貫性が保たれ、ブートストラップ手順が漸近的有効性を維持するか？
• RQ5 実データ応用において、既存手法よりも逆ガウス分布からの逸脱をより効果的に検出できるか？

主な発見

• 提案手法は、包括的な代替分布のセットにおいて、すべての比較的古典的および最近の適合度検定を上回る検出力を示した。唯一の例外は、Cramér-von Mises Anderson-Darling 検定がわずかに高い検出力を示した場合であった。
• パラメトリックブートストラップ手順は漸近的に有効であり、帰無仮説の下で名目水準を維持する。シミュレーション結果から、中程度の標本サイズ（$n = 30$）でも良好な水準維持が確認された。
• 連続代替仮説の下で検定は一貫性を示し、標本サイズが増加するにつれて逆ガウス分布からの局所的逸脱を検出できる能力が裏付けられた。
• 最初の実データ例（信頼性データ）では、新しい検定は帰無仮説を棄却せず、従来の結果と整合し、逆ガウス仮定の妥当性を支持した。
• 2番目の実データ例（降水量データ）では、新しい検定の $p$-値は既存の手法よりも著しく低く、10%水準で帰無仮説を棄却した。これは、データが逆ガウス分布に従わない可能性を示唆した。
• 調整パrameter $a$ の選択にかかわらず、検定の性能が相対的に感度が低く、さまざまな重み関数に対してロバストであることが示された。