[論文レビュー] No cohomologically trivial non-trivial automorphism of generalized Kummer manifolds

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、一般化されたクマニ・多様体に変形同値な任意のハイパーケーラー多様体の自己同型群が、その全整数コホモロジー群に忠実に作用することを証明する。Boissière, Nieper-Wisskirchen, Sarti の第二コホモロジーに関する結果を拡張し、変形理論とケーラーmoduli空間上の密度論的議論を用いて、H²上で自明に作用する非自明な自己同型が、すべてのコホモロジー上で自明に作用しないことを示している。

ABSTRACT

We prove that the natural representaion, on the total Betti cohomolgy group, of the automorphism group of a hyperkähler manifold deformation equivalent to a generalized Kummer manifold is faithful. This is a sort of generalization of an earlier work of Beauville and a recent work of Boissére, Nieper-Wisskirchan and Sarti, concerning the representation on the second cohomology group.

研究の動機と目的

• 一般化されたクマニ多様体に変形同値なハイパーケーラー多様体の全コホモロジーへの自己同型群の作用が忠実であるかどうかを特定すること。
• Beauville や Boissière らの第二コホモロジーに関する既存の結果を、全コホモロジー環へ拡張すること。
• Dusa McDuff が提起した、コホモロジー的に自明だが非自明な自己同型が存在するかどうかの問題を解決すること。
• 一般化されたクマニ多様体およびその変形に対して、コホモロジー的忠実性を、グローバルTorelli型の議論を用いて確立すること。

提案手法

• 元の一般化されたクマニ多様体 K_{n-1}(A) に対して、H²への作用の核に属する非自明な要素（T(n) ⋊ ⟨ι⟩）が、高次のコホモロジー群上で非自明に作用することを確認することで、全コホモロジーへの忠実性を証明する。
• n- torsion 点によって誘導される自己同型および反転自己同型の、K_{n-1}(A) 上でのコホモロジー的作用を明示的に計算する。
• ケーラーmoduli空間におけるMarkmanとMehrotraの密度結果を応用し、K_{n-1}(A) における忠実性を、一般化されたクマニ多様体のすべての変形 Y へ拡張する。
• コホモロジー的に自明な自己同型は H¹(Y, T_Y) 上で自明な作用を誘導するため、普遍族上で単調性が自明になることから、グローバルな作用も自明になることを利用する。
• シンプレクティック形式を介して H¹(Y, T_Y) と H¹(Y, Ω¹_Y) の間に同型が存在することを用い、接バンドルと余接バンドル上の自己同型作用を関連付ける。
• ケーラーmoduli空間の連続性およびHausdorff性を用いて、すべてのファイバー上で自明なグローバル自己同型は自明でなければならないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたクマニ多様体の自己同型群は、H² に限らず、その全整数コホモロジーに忠実に作用するか？
• RQ2 H² への作用の核（既知の T(n) ⋊ ⟨ι⟩）が、高次のコホモロジーにまで拡張されて自明になることはないか？
• RQ3 一般化されたクマニ多様体の任意の変形 Y に対して、自己同型群の全コホモロジーへの作用は忠実か？
• RQ4 H² で自明だが、高次のコホモロジーで非自明に作用するコホモロジー的に自明な自己同型は存在するか？

主な発見

• 任意の一般化されたクマニ多様体に変形同値なハイパーケーラー多様体 Y に対して、自己同型群の全コホモロジー H*(Y, ℤ) への作用は忠実である。
• 元の一般化されたクマニ多様体 K_{n-1}(A) に対して、T(n) ⋊ ⟨ι⟩ に属する自己同型は、H² では自明に作用するが、ある k ≥ 4 に対して H^k では非自明に作用する。
• H² への作用の核（T(n) ⋊ ⟨ι⟩）は、全コホモロジーリング上でコホモロジー的に自明な自己同型に拡張されない。
• ケーラーmoduli空間の密度性と単調性の議論を用いて、K_{n-1}(A) の結果がすべての変形 Y へ拡張される。
• 証明は、コホモロジー的に自明な自己同型が H¹(Y, T_Y) 上で自明な作用を誘導するならば、基底空間の連続性およびHausdorff構造により、グローバルに自明でなければならないという事実に依拠している。
• この結果により、Dusa McDuff が提起した、恒等写像にホモトープだがコホモロジー的に自明な非自明な自己同型の存在に関する問いに、否定的な答えを与える。