[論文レビュー] Non-Archimedian integrals and stringy Euler numbers of log terminal pairs

Victor V. Batyrev|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、代数的多様体の弧の上での非アルキメデス的積分を用いて、カワマタ対数端末対のストリングイ Euler 数を定義し、その数がディクソン＝ハリー＝ヴァーファ＝ウィッテンの公式によって与えられる物理学者が定義するオルビフォールド Euler 数と一致することを証明する。この枠組みを用いて、ゴレンシュタイン商特異点のクリープント解消の Euler 数に関するリードの予想が解決される。

ABSTRACT

Using non-Archimedian integration over spaces of arcs of algebraic varieties, we define stringy Euler numbers associated with arbitrary Kawamata log terminal pairs. There is a natural Kawamata log terminal pair corresponding to an algebraic variety V having a regular action of a finite group G. In this situation we show that the stringy Euler number of this pair coincides with the physicists' orbifold Euler number defined by the Dixon-Harvey-Vafa-Witten formula. As an application, we prove a conjecture of Miles Reid on the Euler numbers of crepant desingularizations of Gorenstein quotient singularities.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的積分を用いて、任意のカワマタ対数端末対へストリングイ Euler 数の概念を拡張すること。
• ストリングイ不変量とディクソン＝ハリー＝ヴァーファ＝ウィッテンの公式によって定義されるオルビフォールド Euler 数を結びつけることで、代数幾何学と弦理論の間の接点を確立すること。
• ゴレンシュタイン商特異点のクリープント解消の Euler 数に関するマイルズ・リードの予想を解決すること。
• 群作用を伴う特異多様体の文脈においてストリングイ不変量を計算するための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 代数的多様体の弧空間上での非アルキメデス的積分を用いてストリングイ不変量を定義する。
• モチーフ的積分の理論を応用して、対数端末対のストリングイ Euler 数を計算する。
• 有限群作用を伴う多様体から自然なカワマタ対数端末対を構成する。
• 弧空間の構造とモチーフ的測度に依存して、解消の選択に依存しない不変量を導出する。
• 非アルキメデス的積分が被約的幾何に適合することを用いて、クリープント解消に関して不変であることを保証する。
• ディクソン＝ハリー＝ヴァーファ＝ウィッテンの論文の公式を適用し、ストリングイ Euler 数とオルビフォールド Euler 数を一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカワマタ対数端末対に対してストリングイ Euler 数をどのように定義できるか？
• RQ2 弦理論におけるオルビフォールド Euler 数と非アルキメデス的積分の関係は何か？
• RQ3 商特異点のストリングイ Euler 数は、D-H-V-W 公式によって計算されるオルビフォールド Euler 数と一致するか？
• RQ4 特異多様体の異なるクリープント解消において、ストリングイ Euler 数を一貫して計算できるか？
• RQ5 ゴレンシュタイン商特異点のクリープント解消の Euler 数に関するリードの予想は正しいか？

主な発見

• 非アルキメデス的積分を用いて定義されたカワマタ対数端末対のストリングイ Euler 数は、ディクソン＝ハリー＝ヴァーファ＝ウィッテンの公式から得られるオルビフォールド Euler 数と一致する。
• この方法により、対数端末対に対する一貫性があり、被約的不変であるストリングイ Euler 数の定義が得られる。
• 本稿では、ゴレンシュタイン商特異点のストリングイ Euler 数がオルビフォールド Euler 数に等しいことを証明し、リードの予想を確認する。
• この構成はクリープント解消に関して不変であり、ストリングイ Euler 数が特異多様体のwell-definedな不変量であることを保証する。
• この枠組みは、任意の有限群作用を伴う代数的多様体に適用可能であり、その結果得られる自然な対数端末対のストリングイ不変量は、オルビフォールド不変量と一致する。