[論文レビュー] Non-degeneracy conditions for braided finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ブレッド付き有限テンソルカテゴリにおける非退化性の同値な特徴づけを確立する。非退化性は、coend $ \mathbb{F} $ 上のホップペアリングの非退化性によって定義されるが、これはエティンコフ＝ニクシチチ＝オストリックの意味での因数分解可能性、ホム写像による弱因数分解可能性、およびミューゲル中心の自明性と同値である。さらに、このようなカテゴリにおけるホップ代数のイェッター＝ドリンフェルトモジュールのカテゴリが非退化であるための必要十分条件は、元のカテゴリが非退化であることである。また、ドリンフェルト双対から生じない新たな因数分解可能なホップ代数の構成も提示する。

ABSTRACT

For a braided finite tensor category $\mathcal{C}$ with unit object $1 \in \mathcal{C}$, Lyubashenko considered a certain Hopf algebra $\mathbb{F} \in \mathcal{C}$ endowed with a Hopf pairing $ω: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} o 1$ to define the notion of a `non-semisimple' modular tensor category. We say that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if the Hopf pairing $ω$ is non-degenerate. In this paper, we show that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if it is factorizable in the sense of Etingof, Nikshych and Ostrik, if and only if its Müger center is trivial, if and only if the linear map $Ω: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(1, \mathbb{F}) o \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, 1)$ induced by the pairing $ω$ is invertible. As an application, we prove that the category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra in $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if $\mathcal{C}$ is.

研究の動機と目的

• 非半単純なブレッド付き有限テンソルカテゴリにおいて、coend 及びそのホップペアリングの計算が困難であるため、非退化性の検証が難しいという問題を解決すること。
• 半単純なモジュラーテンソルカテゴリの特徴づけを非半単純な設定に一般化すること。
• 非退化性の検証がより容易な同値条件を確立すること。
• 非退化カテゴリにおけるホップ代数上のイェッター＝ドリンフェルトモジュールのカテゴリが、自身も非退化であることの必要十分条件を示すこと。
• ドリンフェルト双対から生じない新たな因数分解可能なホップ代数の構成を提供すること。

提案手法

• ブレッド付き有限テンソルカテゴリ $ \mathcal{C} $ において、coend $ \mathbb{F} = \int^{X \in \mathcal{C}} X \otimes X^* $ を定義し、これは自然にホップ代数構造を備える。
• カテゴリ $ \mathcal{C} $ のブレッドの性質を用いてホップペアリング $ \omega_{\mathcal{C}}: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} \to \mathbf{1} $ を構成し、このペアリングの非退化性を非退化性の定義とする。
• ペアリング $ \omega_{\mathcal{C}} $ によって誘導される写像 $ \Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1}) $ を導入し、$ \Omega_{\mathcal{C}} $ の可逆性を弱因数分解可能性と定義する。
• エティンコフ＝ニクシチチ＝オストリックの関手 $ G: \mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C} \to \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ を用いて、因数分解可能性を $ G $ の本質的全射性および完全忠実性として定義する。
• ミューゲル中心 $ \mathcal{C}' $ を、すべての $ Y \in \mathcal{C} $ に対して $ \sigma_{Y,X} \circ \sigma_{X,Y} = \mathrm{id}_{X \otimes Y} $ を満たす対象 $ X $ の全部分カテゴリとして定義し、$ \mathcal{C}' $ が $ \mathbf{1} $ の有限直和のカテゴリと同倣であることによって自明性を定義する。
• ホップモナドおよびフロベニウス＝ベルンシュタイン次元の性質を用いた圏論的議論により、四つの条件（非退化性、因数分解可能性、弱因数分解可能性、自明なミューゲル中心）の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレッド付き有限テンソルカテゴリにおける非退化性の同値条件は何か？ これは coend ペアリングよりも計算が容易であるべきである。
• RQ2 非退化性はエティンコフ＝ニクシチチ＝オストリックの意味でのカテゴリの因数分解可能性とどのように関係するか？
• RQ3 カテゴリが非退化であることとミューゲル中心 $ \mathcal{C}' $ が自明であることとは同値か？
• RQ4 ブレッド付き有限テンソルカテゴリ $ \mathcal{C} $ が非退化であることから、$ \mathcal{C} $ 内のホップ代数上のイェッター＝ドリンフェルトモジュールのカテゴリが非退化であることの必要十分条件は何か？
• RQ5 この枠組みにより、ドリンフェルト双対から生じない新たな因数分解可能なホップ代数の例が得られるか？

主な発見

• ブレッド付き有限テンソルカテゴリ $ \mathcal{C} $ の非退化性—coend $ \mathbb{F} $ 上のホップペアリング $ \omega_{\mathcal{C}} $ の非退化性によって定義される—は、エティンコフ、ニクシチチ、オストリックの意味での因数分解可能性と同値である。
• カテゴリ $ \mathcal{C} $ の非退化性は、ペアリング $ \omega_{\mathcal{C}} $ によって誘導される写像 $ \Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1}) $ の可逆性と同値であり、これは半単純な場合における $ S $-行列の可逆性を一般化する。
• ミューゲル中心 $ \mathcal{C}' $ が自明であることと $ \mathcal{C} $ が非退化であることとは同値であり、非退化性の圏論的特徴づけを提供する。
• ホップ代数 $ B $ におけるイェッター＝ドリンフェルトモジュールのカテゴリ $ \mathcal{YD}(\mathcal{C})^{B}_{B} $ が非退化であることと、$ \mathcal{C} $ が非退化であることとは同値である。
• この結果により、ドリンフェルト双対とは同型でない因数分解可能なホップ代数の新たな構成が得られる。例えば、小量子群 $ u_q(\mathfrak{g}) $ がその例である。
• 因子的ホップ代数 $ H $ における $ \operatorname{Rep}(H) $ 内のホップ代数の二重ボソン化による構成により、$ \dim U = \dim B^* \otimes \dim H \otimes \dim B $ を満たす因数分解可能なホップ代数 $ U $ が得られるが、これは平方数でない場合があるため、ドリンフェルト双対から生じない。