[論文レビュー] Non-invertible Symmetries and Higher Representation Theory I

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、三次元で有限の高次群をゲージすることから生じる全体の分類対称性を示し、完全な対称性カテゴリーは (D-1)-fusion category of (D-1)-representations であり、D=3 における有限群と split 2-groups の両方を分析する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to investigate the global categorical symmetries that arise when gauging finite higher groups in three or more dimensions. The motivation is to provide a common perspective on constructions of non-invertible global symmetries in higher dimensions and a precise description of the associated symmetry categories. This paper focusses on gauging finite groups and split 2-groups in three dimensions. In addition to topological Wilson lines, we show that this generates a rich spectrum of topological surface defects labelled by 2-representations and explain their connection to condensation defects for Wilson lines. We derive various properties of the topological defects and show that the associated symmetry category is the fusion 2-category of 2-representations. This allows us to determine the full symmetry categories of certain gauge theories with disconnected gauge groups. A subsequent paper will examine gauging more general higher groups in higher dimensions.

研究の動機と目的

• D>2 次元における有限非可逆対称性の系統的構築を動機づける。
• 有限高次群をゲージすることから生じる対称性カテゴリーの正確な数学的記述を提供する。
• 高次表現構造を解明するため、有限群と split 2-groups を含む三次元理論に焦点を当てる。
• 凝縮欠陥と SPT の挿入を、結果として生じるトポロジー的表面欠陥に結びつける。
• 切断ゲージ群を持つ理論への枠組みの適用と、高次元への拡張の概略。

提案手法

• 親理論における G 対称欠陥のネットワークを分析することによって、三次元で有限群 G をゲージする。
• G-orbit やコホモロジー類などのデータで単純なトポロジー表面をラベリングし、それを G の不可約な 2-representations に同定する。
• A がアーベル群で Postnikov クラスがゼロの split 2-group G = A[1] ⋊ H に拡張する。
• 対称性カテゴリーを 2-representations の融合 2-カテゴリ 2-Rep(G)として記述する。
• 単純な表面に対する物理的直観を与えるため、部分群や SPT 位相による等価な特徴付けを提供する。
• 2-表現構造に合わせて、融合、1-モルフィズム、および1-モルフィズムの組み合わせを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次元で有限群と有限 split 2-group をゲージしたときに生じる全ての対称性カテゴリーは何か。
• RQ2 ゲージ理論における単純なトポロジー表面は、ゲージされた群の高次表現（2-representations）とどう関係するか。
• RQ3 凝縮欠陥と SPT の挿入は、D=3 のゲージにおけるトポロジー欠陥をどう体系化・分類するか。
• RQ4 切断ゲージ群を持つ理論に対する 1-form 成分および 0-form 成分のゲージングが与える影響は何か。
• RQ5 有限群と split 2-group の結果は、高次元における一般的な higher-group のゲージングにどのように情報を与えるか。

主な発見

• 3D ゲージ理論の単純なトポロジー表面は、G-軌道、H^2(G, U(1)^O) のコホモロジー類、および（2-グループの場合）一連のキャラクター χ_j: A → U(1) でラベル付けされる。
• トポロロジー欠陥のスペクトルとその融合/射の構造は、ゲージされた有限群 G とその split 2-group に対する 2-Rep(G) の 2-表現カテゴリーを再現する。
• split 2-group G = A[1] ⋊ H の場合、単純な表面は H-軌道、H^2(G, U(1)^O) のクラス、および適合性を満たす A-キャラクターの集合でラベル付けされ、2-representation の記述を生み出す。
• 3次元の切断ゲージ群を持つゲージ理論の対称性カテゴリーは 2-Rep(G) であり、凝縮欠陥と SPT 欠陥を含めることで既存の構築を拡張する。
• ゲージング手続きによって全対称性カテゴリーを計算する枠組みが確立され、对象、1-モルフィズム、融合規칙は 2-Representation 理論に一致する。
• 結果は、単純なトポロジー表面の物理的構築を、2-表示と Mackey 型誘導の数学的記述と結びつける。