[論文レビュー] Non-parametric estimation of the spiking rate in systems of interacting neurons

Pierre Hodara, Nathalie Krell+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Neural dynamics and brain function参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP) としてモデル化された相互作用するニューロン系におけるスパikingレート関数の非パラメトリックなNadaraya-Watsonカーネル推定器を提案する。 Hölder滑らかさを満たすスパikingレート関数に対して、$ L^2 $ 収束速度の最適レート $ t^{-\frac{2\beta}{1+2\beta}} $ を確立し、単一ニューロン過程の一様エルゴード性および不変測度解析を用いて推定誤差の中心極限定理を証明する。

ABSTRACT

We consider a model of interacting neurons where the membrane potentials of the neurons are described by a multidimensional piecewise deterministic Markov process (PDMP) with values in ${\\mathbb R}^N, $ where $ N$ is the number of neurons in the network. A deterministic drift attracts each neuron's membrane potential to an equilibrium potential $m.$ When a neuron jumps, its membrane potential is reset to $0,$ while the other neurons receive an additional amount of potential $\\frac{1}{N}.$ We are interested in the estimation of the jump (or spiking) rate of a single neuron based on an observation of the membrane potentials of the $N$ neurons up to time $t.$ We study a Nadaraya-Watson type kernel estimator for the jump rate and establish its rate of convergence in $L^2 .$ This rate of convergence is shown to be optimal for a given H\\"older class of jump rate functions. We also obtain a central limit theorem for the error of estimation. The main probabilistic tools are the uniform ergodicity of the process and a fine study of the invariant measure of a single neuron.

研究の動機と目的

• 相互作用するニューロンネットワーク内の1つのニューロンの非パラメトリックなスパikingレート関数を推定すること。
• Hölder滑らかさ仮定の下で、カーネルベースのスパikingレート推定の最適収束レートを導出すること。
• PDMPに基づくニューロンネットワークモデルの文脈において、推定誤差の中心極限定理を確立すること。
• 密度推定や非線形回帰といったベンチマーク非パラメトリックモデルと比較することで、モデルの統計的複雑性を分析すること。
• Le Camの方法および尤度比技術を用いて、ミニマックス下界を用いて提案された推定量の最適性を検証すること。

提案手法

• スパイク数と膜電位が領域 $ B_h(a) $ 内にいる時間（滞在時間）を用いて、Nadaraya-Watson型のカーネル推定量を構築する。
• 推定量は $ \hat{f}_t(a) = \frac{\sharp \text{spikes in } B_h(a)}{\text{occupation time of } B_h(a)} $ で定義され、バイアスと分散のバランスを取るためにバンド幅 $ h_t $ が選ばれる。
• 解析は、$ N $ 次元の全PDMPの均一エルゴード性および真のレート $ f_0 $ の下での単一ニューロンの不変測度に依存する。
• 重要な技術的ツールとして、Le Camの方法を用いてミニマックス下界を導出するための尤度比 $ L_t^{f_t/f_0} $ と、尤度比の角括弧内におけるKullback-Leibler発散の利用が用いられる。
• 中心極限定理および収束レートの証明は、計数過程のマルティンゲール構造と補正項 $ \hat{\mu}^{f_0} $ に依存し、PDMPのスペクトルギャップおよび混合性の性質を用いて境界が導出される。
• バンド幅 $ h_t $ は $ t^{-1/(2\beta+1)} $ と選ばれ、これにより $ L^2 $ リスクの最適レート $ t^{-2\beta/(1+2\beta)} $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用するニューロン系をPDMPとしてモデル化した場合、スパikingレートの非パラメトリック推定における最適収束レートは何か？
• RQ2 Hölder滑らかさ仮定の下で、Nadaraya-Watsonカーネル推定量はこの最適レートに達するか？
• RQ3 与えられたモデル仮定の下で、推定誤差は中心極限定理を満たすか？
• RQ4 このニューロンネットワークモデルの統計的複雑性は、密度推定や回帰といった古典的非パラメトリックモデルと比べてどうか？
• RQ5 推定リスクのミニマックス下界は何か？ そして、提案された推定量は収束レートの意味で最適か？

主な発見

• 提案されたNadaraya-Watsonカーネル推定量は、$ \beta $ 階のHölderクラスに属するスパikingレート関数に対して、最適な $ L^2 $ 収束レート $ t^{-\frac{2\beta}{1+2\beta}} $ を達成する。
• 推定誤差の中心極限定理が確立され、推定量が真のレート関数の周囲で漸近的に正規分布に従うことが示された。
• ミニマックス下界はLe Camの方法と尤度比を用いて導出され、収束レートの最適性が確認された。
• 下界の証明は、PDMPの均一エルゴード性および単一ニューロンの不変密度の有界性に依存する。
• バンド幅 $ h_t = t^{-1/(2\beta+1)} $ が最適であることが示され、カーネル推定量のバイアスと分散のバランスが取れている。
• 尤度比 $ L_t^{f_t/f_0} $ が $ \mathbb{E}_0[|\log L_t^{f_t/f_0}|] < \infty $ を満たすことが示され、これはミニマックス下界を証明するために不可欠である。