[論文レビュー] Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations

Dallas Albritton, Elia Brué+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、同一の体積力のもとで初期速度がゼロである3次元強制ナビエ＝ストークス方程式に対して、2つの異なる大域的解を構成することにより、Leray–Hopf解の非一意性を確立する。この手法は、類似変数における非線形不安定性解析に依拠し、Vishikの不安定な2次元渦の派生であるコンパクトな有界な渦環型分布を用いる。一方の解は、背景解の不安定多様体上に位置し、古典的Leray枠組みが臨界正則性閾値で一意性を保証しないことを証明する。

ABSTRACT

In the seminal work [39], Leray demonstrated the existence of global weak solutions to the Navier-Stokes equations in three dimensions. We exhibit two distinct Leray solutions with zero initial velocity and identical body force. Our approach is to construct a `background' solution which is unstable for the Navier-Stokes dynamics in similarity variables; its similarity profile is a smooth, compactly supported vortex ring whose cross-section is a modification of the unstable two-dimensional vortex constructed by Vishik in [43,44]. The second solution is a trajectory on the unstable manifold associated to the background solution, in accordance with the predictions of Jia and Šverák in [32,33]. Our solutions live precisely on the borderline of the known well-posedness theory.

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式のLeray–Hopf解が、同一の初期データおよび力の作用のもとで一意であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 初期速度がゼロで有限エネルギーを有する適切な弱解のクラスでさえ、非一意性が生じうることを示すこと。
• 類似変数における非線形不安定性を利用することで、明示的な異なるLeray–Hopf解の例を構成すること。
• JiaとŠverákのプログラムによる非一意性の予測を、不安定多様体上に解を厳密に構成することで検証すること。

提案手法

• Vishikの不安定な2次元渦から派生する滑らかでコンパクトに有界な渦環型分布を用いて、類似変数における背景解を構築する。
• 軸対称設定において背景解の線形不安定性を解析し、指数関数的増大率 $ a > 0 $ を有する成長モードを同定する。
• 類似変数における修正されたDuhamelの原理を用い、指数的減衰 $ O(e^{2\tau a}) $ を有する摂動 $ U^\text{per} $ を構成し、解が臨界正則性空間に留まることを保証する。
• 背景解の切り捨て $ \tilde{u} $ を自己相似スケーリングに適合させたものとして定義し、$ u = \tilde{u} + u^{\text{lin}} + u^{\text{per}} $ なる解の存在を確立する。
• すべての必要な正則性および可積分性条件を検証することで、構成された解がエネルギー不等式を満たし、適切なLeray–Hopf解であることを証明する。
• Sobolev空間における精密な減衰推定およびブートストラップ論法を用い、$ t > 0 $ において解を滑らかに高める。これにより、解の正則性および背景解とは異なることの確認がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零初期データおよび固定された体積力のもとで、3次元ナビエ＝ストークス方程式のLeray–Hopf解の非一意性を厳密に構成することは可能か？
• RQ2 類似変数形式における不安定モードの存在が、臨界正則性領域で複数の異なる解を生じさせるか？
• RQ3 自己相似解の不安定多様体を用いて、背景解とは異なる第二の解を生成することは可能か？
• RQ4 エネルギー不等式およびLeray–Hopf解に求められる適切性条件を保ちながら、このような解を構成することは可能か？
• RQ5 非一意性の結果は、既知の適切性理論の限界付近、特に$ L^2 $-ベースの正則性枠組みにおける臨界点でも成立するか？

主な発見

• 著者らは、同一の体積力 $ f \in L^1_t L^2_x $ および零初期データのもとで、2つの異なる適切なLeray–Hopf解 $ u $ と $ \bar{u} $ を3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して構成した。
• 解はすべての $ t > 0 $ で滑らかであり、第二の解は類似変数における自己相似的背景解の不安定多様体上に位置する。
• この構成は、Vishikの不安定な2次元渦から派生する渦環型分布に起因する非線形不安定性メカニズムに依拠し、線形化ダイナミクスにおいて指数的増大を示す。
• 摂動 $ u^{\text{per}} $ は重み付きSobolev空間 $ X $ に存在し、指数的減衰 $ O(e^{2\tau a}) $ を示すことが証明された。ここで $ \tau $ は類似時間、$ a > 0 $ は不安定性率である。
• 解はエネルギー不等式を満たし、適切性を満たすため、非一意性にもかかわらず古典的Leray–Hopf枠組みに属することが確認された。
• この結果により、Leray–Hopf解の既知の適切性理論が、非一意性が正確に臨界正則性閾値で生じるという点で鋭いものであることが立証された。