[논문 리뷰] Nonassociative geometry and twist deformations in non-geometric string theory

Dionysios Mylonas, Peter Schupp외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 28.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 59인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 위상공간에 비틀림 푸아송 구조를 지닌 열린 막을 이용하여 기하학적이지 않은 스트링 컴actsfication을 위한 기하학적 및 대수적 프레임워크를 제안한다. 막의 시그마 모델을 양자화함으로써 콘테시비치의 형식론을 통해 비결합성 스타곱을 도출하고, 결합성과 비결합성 배경 간의 세이버그–유프맵을 수립하며, R-플럭스에 의해 유도되는 기본 시공간 불확실성으로 규정되는 비결합성 양자역학의 일관된 위상공간 형식을 구성한다.

ABSTRACT

We describe nonassociative deformations of geometry probed by closed strings in non-geometric flux compactifications of string theory. We show that these non-geometric backgrounds can be geometrised through the dynamics of open membranes whose boundaries propagate in the phase space of the target space compactification, equiped with a twisted Poisson structure. The effective membrane target space is determined by the standard Courant algebroid over the target space twisted by an abelian gerbe in momentum space. Quantization of the membrane sigma-model leads to a proper quantization of the non-geometric background, which we relate to Kontsevich's formalism of global deformation quantization that constructs a noncommutative nonassociative star product on phase space. We construct Seiberg-Witten type maps between associative and nonassociative backgrounds, and show how they may realise a nonassociative deformation of gravity. We also explain how this approach is related to the quantization of certain Lie 2-algebras canonically associated to the twisted Courant algebroid, and cochain twist quantization using suitable quasi-Hopf algebras of symmetries in the phase space description of R-space which constructs a Drinfel'd twist with non-trivial 3-cocycle. We illustrate and apply our formalism to present a consistent phase space formulation of nonassociative quantum mechanics.

연구 동기 및 목표

• 표준 리만 기하학이 붕괴하는 비기하학적 스트링 컴팩티피케이션에 대한 기하학적 및 대수적 기술을 제공하기 위해.
• 열린 막의 운동이 위상공간에서 비틀림 푸아송 구조를 지닌 과정에서 자연스럽게 비결합성 시공간 기하학의 변형이 유도됨을 보여주기 위해.
• 막의 양자화로부터 유도된 비결합성 스타곱을 사용하여 비결합성 양자역학의 일관된 위상공간 형식을 구성하기 위해.
• 비결합성 배경을 리 2대수와 코chain twist 양자화를 통해 비자명한 3-코호몰로지가 있는 쿼드-호프 대수를 통해 연결하기 위해.
• 비기하학적 환경에서 중력의 변형을 가능하게 하는, 비결합성 기하학과 결합성 기하학 간의 세이버그–유프맵을 수립하기 위해.

제안 방법

• 모멘텀 공간에서 아벨 기브르에 의해 비틀린 코르누 알제브로이드를 사용하여 열린 막의 효과적 타겟 공간을 정의한다.
• 막의 시그마 모델을 적용하여 콘테시비치의 글로벌 변형 양자화 형식론을 통해 위상공간에서 비결합성 스타곱을 도출한다.
• 양자역학적 기대값과 양성도를 보장하기 위해 스타곱에 대해 2순환성 및 3순환성 조건을 도입한다.
• 기저가 되는 비틀림 푸아송 구조를 사용하여 결합성과 비결합성 배경 간의 세이버그–유프맵을 구성한다.
• 비자명한 3-코호몰로지가 있는 R-공간의 대칭성에 대한 쿼드-호프 대수를 통해 형식론을 코일체인 트위스트 양자화와 연결한다.
• 헤이젠베르크 유형의 운동 방정식을 도출하고, 비결합성 위상공간 프레임워크에서 상태와 관측량을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비기하학적 스트링 배경에서 비결합성 시공간 기하학적 특성을 일관되게 기하화할 수 있는가?
• RQ2 열린 막은 위상공간에서 비결합성 기하학을 어떻게 실현하는가?
• RQ3 막의 시그마 모델의 양자화가 위상공간에서 비결합성 스타곱을 어떻게 도출하는가?
• RQ4 비결합성 양자역학의 일관된 위상공간 형식을 구성할 수 있으며, 그 시공간 불확실성에 대한 함의는 무엇인가?
• RQ5 세이버그–유프맵은 비기하학적 스트링 이론의 맥락에서 결합성과 비결합성 기하학을 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• 열린 막의 효과적 타겟 공간은 표준 코르누 알제브로이드이지만, 모멘텀 공간에서 아벨 기브르에 의해 비틀려져 있다.
• 막의 시그마 모델의 양자화는 위상공간에서 비결합성 스타곱을 도출하며, 콘테시비치의 글로벌 변형 양자화 형식론을 실현한다.
• 비결합성 스타곱은 통합에 대해 2순환성 및 3순환성을 만족하여 양자역학적 확률과 양성도를 보장한다.
• 비결합성 양자역학의 불확실성 관계는 R-플럭스에 의해 수정되며, 면적 및 부피 연산자의 비영 기대값을 가진다: ⟨A^{ij}⟩ = ℏ R^{ijk} ⟨p_k⟩ 및 ⟨V^{ijk}⟩ = (3/2)ℏ² R^{ijk}.
• R-플럭스가 비영인 삼중좌표(R^{ijk} ≠ 0)는 공통 고유상태를 가지지 않으며, 이는 시공간 내 사건의 국소화에 대한 근본적인 제약을 나타낸다.
• 세이버그–유프맵과 비자명한 3-코호몰로지가 있는 쿼드-호프 대수를 사용한 코일체인 트위스트 양자화를 통해 비결합성 중력의 변형을 실현한다.