[論文レビュー] Noncommutative complete intersections and matrix integrals

Pavel Etingof, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Mar 11, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、表現的完全交差（RCI）および非可換完全交差（NCCI）を導入し、RCI代数がNCCIであること、および非可換循環コシュール複体と行列積分を用いて、ホッフシュャイドおよび循環ホモロジー群のヒルベルト系列の明示的公式を導出することを証明している。この行列積分は、クイバーゲージ理論に由来するものである。

ABSTRACT

We introduce a class of noncommutatative algebras called representation complete intersections (RCI). A graded associative algebra A is said to be RCI provided there exist arbitrarily large positive integers n such that the scheme Rep_n(A), of n-dimensional representations of A, is a complete intersection. We discuss examples of RCI algebras, including those arising from quivers. There is another interesting class of associative algebras called noncommutative complete intersections (NCCI). We prove that any graded RCI algebra is NCCI. We also obtain explicit formulas for the Hilbert series of each nonvanishing cyclic and Hochschild homology group of an RCI algebra. The proof involves a noncommutative cyclic Koszul complex, K(A), and a matrix integral similar to the one arising in quiver gauge theory.

研究の動機と目的

• 任意の大きな d に対して、d次元表現スキーム Rep_d(A) が完全交差であるような、非可換代数の新しいクラス「表現的完全交差（RCI）」を定義・研究すること。
• RCI代数と非可換完全交差（NCCI）の間の関係を確立し、すべてのRCI代数がNCCIであることを示すこと。
• 非可換循環コシュール複体と行列積分技術を用いて、RCI代数のホッフシュャイドおよび循環ホモロジー群のヒルベルト系列を計算すること。
• 交換子商 A/[A,A] の対称代数 O(A) = Sym(A_+ / [A,A]) と、表現スキーム Rep_d(A) 上の GL_d-不変関数の極限との関係を明らかにすること。

提案手法

• グレーディング付き結合的代数 A に対して、表現関手 Rep_d(A) を定義し、これを d 次元表現のスキームとみなす。
• Rep_d(A) ⊂ Rep_d(F) 上の標準コシュール複体の GL_d-不変部分に写像する非可換循環コシュール複体 K^cyc_•(A) を導入する。
• d → ∞ のとき、非可換循環コシュール複体と表現スキーム上のコシュール複体との間に漸近的同型が成り立つことを確立する。
• クイバーゲージ理論に類似した行列積分を用いて、交換子商 A/[A,A] 上の対称代数のヒルベルト系列を計算する。
• モリタ同値およびヴァン・デン・ベルク双対性を用いて、スモーズ積のホッフシュャイドホモロジーと対称代数の不変量との関係を導出する。
• 特に A, D, E 型のディンキンクイバーに対して、t-アナローグのカルタン行列の行列式を用いた明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレーディング付き代数 A の d 次元表現スキームが、任意の大きな d に対して完全交差であるための条件は何か？
• RQ2 幾何学的およびホモロジー論的技法を用いて、非可換代数のホッフシュャイドホモロジー群のヒルベルト系列をどのように計算できるか？
• RQ3 表現スキーム Rep_d(A) と対称代数 O(A) = Sym(A_+ / [A,A]) の間の関係は何か？
• RQ4 行列積分と非可換コシュール複体は、非可換代数における表現論とホモロジー不変量の間の橋渡しをどのように果たすか？
• RQ5 クイバー不変量およびカルタン行列の行列式を用いて、O(A) のヒルベルト系列の明示的公式をどのように導出できるか？

主な発見

• すべての表現的完全交差（RCI）代数は非可換完全交差（NCCI）であることが示され、両者の間の強い構造的関係が確立された。
• O(A) = Sym(A_+ / [A,A]) のヒルベルト系列は、無限積の形で与えられる：h(O(A)) = ∏_{k≥1} 1 / (1 - t^k)^{φ_k(c)_{00}} である。ここで φ_k(c)_{00} は、t-アナローグのカルタン行列の逆行列の成分である。
• ディンキンクイバーの前置き代数に対して、ゼータ関数 ζ(Q,t) は ∏_{k≥1} 1 / (1 - t^k)^{φ_k(c)_{00} - φ_{k-2}(c)_{00}} に等しく、A, D, E 型に対して既知の公式と一致する。
• HH_0(Π) および HH_2(Π) のヒルベルト系列は、表現空間上の対称代数の不変量と関係しており、HH_2(Π) ≅ (Sym M)^Γ⟨2⟩ が成り立ち、結果としてシフトされたヒルベルト系列が得られる。
• 非可換循環コシュール複体 K^cyc_•(A) は、d → ∞ のとき、Rep_d(A) 上の GL_d-不変複体と漸近的に同型を与える。これによりホモロジー計算が可能になる。
• 行列積分とクラス関数不変量を用いて、交換子商上の対称代数のヒルベルト系列の明示的公式が導出され、すべてのRCI代数に対して有効である。