[論文レビュー] Noncommutative Spacetime and Emergent Gravity

Hyun Seok Yang|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、非可換 (NC) 時空が本質的に量子位相空間であると仮定し、二重の双対枠組みを通じて挙動的重力が生じることを提案する：(1) 大きなNの行列モデルとしてのNC場理論、および (2) NCゲージ場が重力的ビールシュタインおよび計量を生成すること。主な結果は、ℝ^{d}_C × ℝ^{2n}_NC 上のNC U(1)ゲージ理論の力学が、U(N→∞) ヤンミルズ理論に正確に写像され、その挙動的幾何は、背景の体積形式に応じて平坦またはAdS×S⁵時空を実現する自己同型計量に符号化されることである。

ABSTRACT

We argue that a field theory defined on noncommutative (NC) spacetime should be regarded as a theory of gravity, which we refer to as the emergent gravity. A whole point of the emergent gravity is essentially originated from the basic property: A NC spacetime is a (NC) phase space. This fact leads to two important consequences: (I) A NC field theory can basically be identified with a matrix model or a large N field theory where NC fields can be regarded as master fields of large N matrices. (II) NC fields essentially define vector (tetrad) fields. So they define a gravitational metric of some manifold as an emergent geometry from NC gauge fields. Of course, the pictures (I) and (II) should refer to the same physics, which should be familiar with the large N duality in string theory. The 1/N corrections in the picture (I) correspond to the derivative corrections in terms of the noncommutativity θfor the picture (II).

研究の動機と目的

• 非可換時空を量子位相空間として認識することで、非可換場理論と挙動的重力の双対性を確立すること。
• 真空中エネルギーを挙動的重力における平坦時空の起源として特定することで、宇宙定数問題を解決すること。
• 重力を根本的な力ではなく、非可換または非アーベルゲージ場の集団的現象として生じることを示すこと。
• 非可換場理論の大N極限が、重力的幾何を持つ高次元ヤンミルズ理論の力学を再現することを示すこと。
• シンプレクティック幾何とダーブォーの定理を通じて、挙動的重力における微分同型対称性の役割を明確にすること。

提案手法

• Weyl-Moyal写像を用いてNC場をスター積に関連づけ、[y^a, y^b]_star = iθ^{ab} による非可換時空を定義する。
• N→∞極限においてNC場を無限次元行列として表現し、それらを大N行列モデルのマスター場として同定する。
• ゲージ共変性をスター乗法のもとで保つために、共変座標 x^a = y^a + θ^{ab}A_b(y) を導入する。
• NC代数の内部自己同型から得られるベクトル場 V_a^α(y)∂_α が正規直交フレームを形成し、ビールシュタイン構造を定義する。
• 共形因子 f とフレーム条件を用いて挙動的計量を構成し、ds² = f²η_{μν}dz^μdz^ν + f²δ_{ab}V^a_c V^b_d (dy^c - A^c)(dy^d - A^d) を得る。
• ℝ^{1,3}_C × ℝ^6_NC 上のNC U(1)ゲージ理論を、4次元 N=4 U(N→∞) ヤンミルズ理論のボソン的パートに写像し、真空幾何は体積形式 ω の選択に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空が量子位相空間として機能する場合、どのように重力的幾何が生じるか？
• RQ2 大N行列モデルと非可換場理論における挙動的重力の間の正確な双対性は何か？
• RQ3 行列モデルの1/N補正は、幾何的図式における非可換パラメータθの微分補正に対応するか？
• RQ4 挙動的重力における微分同型対称性の起源は何か？また、シンプレクティック幾何とダーブォーの定理とはどのように関係するか？
• RQ5 なぜ挙動的計量が体積形式 ω の選択に依存するのか？そして、これが真空幾何（例えば平坦またはAdS₅×S⁵）をどのように決定するのか？
• RQ6 この挙動的重力枠組みにおいて、真空中エネルギーを平坦時空の起源として特定することで、宇宙定数問題を解消できるか？

主な発見

• ℝ^{2n}_NC 上のNC場は、N→∞極限において大N行列と等価であり、NC場理論と行列モデルの間の双対性を確立する。
• NC代数の内部自己同型が生成するベクトル場は正規直交フレームを形成し、これによりビールシュタインおよびリーマン計量が定義される。
• 挙動的計量は背景幾何と共形同型であり、共形因子 f は体積形式 ω とゲージ場配置によって決定される。
• ℝ^{1,3}_C × ℝ^6_NC 上の10次元NC U(1)ゲージ理論は、正確に4次元N=4 U(N→∞)ヤンミルズ理論のボソン的パートに写像される。
• 真空配置 (A_μ, Φ^a) = (0, y^a/κ) の場合、ω = dy^1 ∧ ⋯ ∧ dy^6 ならば挙動的幾何は平坦な ℝ^{1,9} となり、ω = dy^1 ∧ ⋯ ∧ dy^6 / ρ² かつ ρ² = ∑(y^a)^2 ならばAdS₅×S⁵ となる。
• ゲージ場のゆらぎは、式 (16) に示されるメトリックで記述されるバブル状の幾何を誘導し、重力がNCゲージ力学から動的に生じることを示している。