[논문 리뷰] Noncommutative version of an arbitrary nondegenerated mechanics

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|2002. 08. 10.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비가역적 기계 시스템의 비가환적 버전을 구성하기 위한 일반적인 절차를 제안한다. 이는 일阶 라그랑지안에 상수 반대칭 행렬 $\theta^{AB}$를 포함하는 항을 수정함으로써 이루어지며, 결과적으로 동일한 물리적 자유도 수를 유지하고 원래의 운동 방정식에 $\theta$-의존 보정항을 포함하여 재현하며, 비가환 파울리 괄목 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$를 유도한다. 이는 양자화 시 멀로이 곱을 갖는 양자역학을 초래한다.

ABSTRACT

A procedure to obtain noncommutative version for any nondegenerated dynamical system is proposed and discussed. The procedure is as follow. Let $S=\int dt L(q^A, ~ \dot q^A)$ is action of some nondegenerated system, and $L_1(q^A, ~ \dot q^A, ~ v_A)$ is the corresponding first order Lagrangian. Then the corresponding noncommutative version is $S_N=\int dt[ L_1(q^A, ~ \dot q^A, \~ v_A)+ \dot v_Aθ^{AB}v_B]$. Namely, the system $S_N$ has the following properties: 1) It has the same number of physical degrees of freedom as the initial system $S$. 2) Equations of motion of the system are the same as for the initial system $S$, modulo the term which is proportional to the parameter $θ^{AB}$. 3) Configuration space variables have the noncommutative brackets: $\{q^A, ~ q^B\}=-2θ^{AB}$. It is pointed also that quantization of the system $S_N$ leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

연구 동기 및 목표

• 임의의 비가역적 기계 시스템에 대한 비가환적 버전을 체계적으로 구성할 수 있는 보편적 방법을 개발하기 위해.
• 유도된 비가환 시스템이 원래 시스템과 동일한 물리적 자유도 수를 유지하도록 보장하기 위해.
• 비가환 시스템의 운동 방정식이 비가환성 매개변수 $\theta^{AB}$에 비례하는 보정항을 제외하고 원래의 것들과 일치하도록 유도하기 위해.
• 비가환 형식에서 구성 공간 변수 $q^A$가 비자명한 파울리 괄목 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$를 획득하도록 확립하기 위해.
• 비가환 시스템의 양자화가 멀로이 곱을 갖는 양자역학으로 이어지는지 보여주고, 만약 그렇다면 이를 변수 변화를 통해 어떻게 실현하는지 설명하기 위해.

제안 방법

• 비가역적 기계 시스템을 기술하는 표준 라그랑지안 $S = \int dt\, L(q^A, \dot{q}^A)$로 시작한다.
• 보조 변수 $v_A$를 도입하여 일阶 라그랑지안 $S_1 = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A)\right]$로 재구성한다.
• 상수 반대칭 행렬 $\theta^{AB}$를 포함하는 확장된 작용 $S_N = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A) + \dot{v}_A \theta^{AB} v_B\right]$를 통해 비가환 버전을 구성한다.
• 작용 $S_N$의 해밀토니안 형식을 유도하고, 주된 제약조건 $G_A = p_A - v_A = 0$과 $T^A = \pi^A - \theta^{AB}v_B = 0$를 식별한다.
• 이중 제약조건을 다루기 위해 딜라크 괄목을 계산하며, 이는 물리적 변수에 대한 비가환 파울리 괄목 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$를 유도한다.
• 변수 $q^A$와 $p_A$의 운동 방정식이 원래 시스템과 $\theta^{AB}$에 비례하는 항 외에는 동일하며, 양자화가 표준 괄목을 갖는 변수로의 캐논리컬 변환을 통해 멀로이 곱을 초래함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 비가역적 기계 시스템에 대해 원래 라그랑지안의 구체적 형태에 관계없이 체계적으로 비가환적 버전을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 비가환 형식이 원래 시스템의 물리적 자유도 수를 유지하는가?
• RQ3 비가환 시스템의 운동 방정식은 원래 시스템의 것들과 어떻게 관련되어 있으며, $\theta^{AB}$ 매개변수는 이를 어떻게 수정하는가?
• RQ4 비가환 형식에서 구성 공간 변수 $q^A$의 기본 파울리 괄목은 무엇이며, 이는 딜라크 괄목 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ5 비가환 시스템의 양자화가 멀로이 곱을 갖는 양자역학으로 이어지는가? 만약 그렇다면 이를 변수의 변화를 통해 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 비가환 시스템은 작용 $S_N$으로 정의되며, 원래의 비가역적 시스템과 동일한 물리적 자유도 수를 유지한다.
• 비가환 시스템에서 $q^A$와 $p_A$의 운동 방정식은 원래 시스템과 동일하지만, $\theta^{AB}$에 비례하는 추가 항이 존재한다. 특히 $\dot{q}^A = \frac{\partial H_0}{\partial p_A} - 2\theta^{AB}\frac{\partial H_0}{\partial q^B}$이다.
• 구성 공간 변수 $q^A$는 비자명한 파울리 괄목 $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$를 획득하며, 이는 제약조건에 대한 딜라크 괄목 형식에서 도출된다.
• 시스템의 역학은 변수 $\tilde{q}^A = q^A - \theta^{AB}p_B$와 $\tilde{p}_A = p_A$로 재구성할 수 있으며, 이는 표준 캐논리컬 파울리 괄목 $\{\tilde{q}^A, \tilde{p}_B\} = \delta^A_B$를 만족하여 표준 양자화 절차를 가능하게 한다.
• 비가환 시스템의 양자화는 멀로이 곱을 갖는 양자역학을 유도한다. 해밀토니안은 $H_0(\tilde{q}^A + \theta^{AB}\tilde{p}_B, \tilde{p}_B) * \Psi(\tilde{q}^C)$ 형태를 띠며, $*$ 는 멀로이 스타 곱을 나타낸다.
• 이 방법은 비가역적 시스템으로까지 확장 가능하며, 비가환 상대론적 입자에 대한 적용 가능성을 통해 광범위한 물리적 의미를 지닌다.