[論文レビュー] Nonholonomic Mapping Principle for Classical Mechanics in Spaces with Curvature and Torsion. New Covariant Conservation Law for Energy-Momentum Tensor

H. Kleinert|Jan 3, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、曲率とねじれを有する時空へアインシュタインの等価原理を非ホロノミックな座標変換を用いて拡張する非ホロノミックなマッピング原理を導入し、幾何的ねじれ力に起因する自己平行軌道をもたらすスピンのない自由粒子の新しい作用を導出する。主な結果は、勾配ねじれの場合に共形因子 $ e^{\tau} $ を介してねじれを含む一般相対性理論の場の式を一般化する、エネルギー運動量テンソルの修正された共変保存則である。

ABSTRACT

The lecture explains the geometric basis for the recently-discovered nonholonomic mapping principle which specifies certain laws of nature in spacetimes with curvature and torsion from those in flat spacetime, thus replacing and extending Einstein's equivalence principle. An important consequence is a new action principle for determining the equation of motion of a free spinless point particle in such spacetimes. Surprisingly, this equation contains a torsion force, although the action involves only the metric. This force changes geodesic into autoparallel trajectories, which are a direct manifestation of inertia. The geometric origin of the torsion force is a closure failure of parallelograms. The torsion force changes the covariant conservation law of the energy-momentum tensor whose new form is derived.

研究の動機と目的

• 非ホロノミックな座標変換を用いて、曲率とねじれを有する時空へアインシュタインの等価原理を一般化すること。
• このような時空におけるスピンのない自由粒子の新しい作用原理を導出し、非測地的自己平行軌道をもたらすこと。
• ねじれの存在下でのエネルギー運動量テンソルの共変保存則を再考すること。
• ねじれを含む時空へアインシュタインの場の式を一貫的に拡張すること、特に勾配ねじれの場合を想定すること。
• 新しい保存則と修正されたバイアンキ恒等式との整合性を共形因子 $ e^{\tau} $ を用いて確立すること。

提案手法

• 非シュバルツィアンな座標変換 $ x^a = x^a(q) $ を定義する多価な tetrad $ e^a_\nu(q) $ を用い、可積分性条件 $ \nabla_\nu \nabla_\rho x^a = 0 $ が破れるようにし、これにより曲率とねじれを生成する。
• tetrad を用いて接続 $ \Gamma_{\mu\nu}^\lambda $ を $ \Gamma_{\mu\nu}^\lambda = e^\lambda_a \partial_\mu e^a_\nu $ として導出し、ねじれテンソル $ S_{\mu\nu}^\lambda = \frac{1}{2}(\Gamma_{\mu\nu}^\lambda - \Gamma_{\nu\mu}^\lambda) $ を定義する。
• 曲率とねじれを有する時空におけるスピンのない自由粒子の作用原理（式 16）を構築し、ねじれ力 $ S_{\mu\nu}^\lambda \dot{x}^\nu \dot{x}^\lambda $ を持つ運動方程式（13）を導出する。
• エネルギー運動量テンソルの新しい共変保存則（式 47）を導出し、ねじれ寄りの寄与により標準的な $ D_\nu T^\mu{}^\nu = 0 $ とは異なる形を取ることを示す。
• 勾配ねじれ $ S_{\mu\nu}^\lambda = \frac{1}{2}(\delta_\mu^\lambda \partial_\nu \sigma - \delta_\nu^\lambda \partial_\mu \sigma) $ の場合に、修正された場の式 $ e^\sigma G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} $ を導入し、新しい保存則と整合性を保つ。
• 修正された場の式と新しい保存則の整合性を示すために、バイアンキ恒等式 $ D^*_\nu(e^\sigma G^{\mu\nu}) = 0 $ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミックなマッピングを用いて、曲率とねじれを有する時空へアインシュタインの等価原理をどのように一般化できるか？
• RQ2 ねじれを有する時空におけるスピンのない自由粒子の正しい運動方程式は何か？また、測地線運動とはどのように異なるか？
• RQ3 ねじれの存在がエネルギー運動量テンソルの共変保存則にどのように影響するか？
• RQ4 アインシュタインの場の式は、ねじれを一貫的に含むように拡張可能か？エネルギー運動量保存則を保つためにどのような形を取るべきか？
• RQ5 勾配ねじれは、新しい保存則と整合性を保つために、アインシュタインテンソルの共形変更を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 非ホロノミックなマッピング原理は、非可積分な座標変換を介して平坦時空から曲率とねじれを有する時空を生成し、ねじれ力の幾何的起源をもたらす。
• ねじれを有する時空におけるスピンのない自由粒子の運動方程式は、速度に依存するねじれ力 $ S_{\mu\nu}^\lambda \dot{x}^\nu \dot{x}^\lambda $ に起因する自己平行軌道（式 13）であり、測地線ではない。
• ねじれが存在する場合には標準的な保存則 $ D_\nu T^\mu{}^\nu = 0 $ は成立せず、新しい保存則（式 47）にはねじれテンソルを含む追加項が含まれる。
• 勾配ねじれ（式 56）の下では、修正された場の式 $ e^\sigma G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} $ が、バイアンキ恒等式 $ D^*_\nu(e^\sigma G^{\mu\nu}) = 0 $ を介して新しい保存則と整合的であることを保証する。
• 新しい保存則（47）はねじれが存在しない極限 $ S_{\mu\nu}^\lambda \to 0 $ で標準形式に還元され、一般相対性理論と整合的であることが確認される。
• 導出結果から、ねじれを有する時空では測地線ではなく自己平行軌道が物理的な直線的経路を表すことが示され、慣性の幾何的根拠が得られる。