[论文解读] Nonlocal elliptic equation in Hölder space and the martingale problem

Chengcheng Lin, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用 9

一句话总结

本论文在Besov-Hölder空间中为具有奇异漂移的非局部椭圆方程建立了Schauder型估计，借助Littlewood-Paley理论与Bony分解。证明了相关鞅问题的解的存在性与唯一性，并表明解的一维分布具有Besov空间中的密度，将正则性理论推广至不规则系数及α ∈ (0,1)的情形。

ABSTRACT

The well-posedness of nonlocal elliptic equation with singular drift is investigated in Besov-Hölder spaces. As an application, we show the existence and uniqueness for corresponding martingale problem. Moreover, we prove that the one dimensional distribution of the martingale solution has a density in some Besov space.

研究动机与目标

• 在Besov-Hölder空间中为具有奇异漂移的非局部椭圆方程建立全局Schauder型估计。
• 证明与具有不规则系数的非局部生成元相关的鞅问题的适定性。
• 表明由SDE驱动的鞅解的一维分布具有Besov空间中的密度。
• 将正则性理论推广至α ∈ (0,1)且非零、不规则漂移b ∈ C^β的情形。
• 通过弱化跳跃核κ(x,z)的下界条件，超越标准假设κ ≥ λ > 0，推广现有结果。

提出的方法

• 利用Littlewood-Paley理论推导解算子的频率局部化最大不等式。
• 应用Bony分解处理当α ∈ (1,2)且β < 0时的非局部算子L_κ^α。
• 通过变量变换Φ(x) = u(x) + x（其中u为求解的预解方程的解）将SDE转化为更简单的形式。
• 构造微分同胚Φ，将原始具有漂移的SDE约化为具有有界跳跃活动性和正则系数的新SDE。
• 在Besov空间中应用矩估计与插值技术，以控制解分布的密度。
• 利用对偶性与Besov空间中的L^p估计，证明转移密度属于B^γ_{q,∞}（特定γ与q）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当α ∈ (0,1)时，能否为具有奇异漂移的非局部椭圆方程建立Schauder型估计？
• RQ2 在何种跳跃核κ(x,z)与漂移b ∈ C^β的条件下，鞅问题存在唯一解？
• RQ3 由α稳定过程驱动、具有不规则漂移的SDE的解的一维分布是否具有Besov空间中的密度？
• RQ4 当漂移不规则时，变换Φ(x) = u(x) + x下解的正则性如何保持？
• RQ5 此类具有奇异漂移的非局部SDE的转移密度在Besov空间中的最优正则性为何？

主要发现

• 当α ∈ (0,1]，β ∈ (1−α,ϑ)，且b ∈ C^β满足ϑ > max{0,1−α}时，方程λu − L_κ^αu − b·∇u = f在u ∈ C^{α+β}中存在唯一解，且满足估计式(λ−λ₀)‖u‖_{C^β} + ‖u‖_{C^{α+β}} ≤ C‖f‖_{C^β}。
• 当α ∈ (1,2)，β ∈ (−(α−1)/2 ∧ ϑ, ϑ)时，相同的适定性与正则性结果在C^{α+β}中成立，且具有相同类型的估计。
• 当α ∈ (0,1]时，鞅解的转移密度p_t^X属于Besov空间B^γ_{q,∞}，其中0 < γ < α(α+β−1)，且1 ≤ q < d/(d+γ−α(α+β−1))。
• 当α ∈ (1,2)时，密度满足p_t^X ∈ B^γ_{q,∞}，其中0 < γ < (α+β−1) ∧ (ϑ/α)，且1 ≤ q < d/(d+γ−(α+β−1)∧(ϑ/α))。
• 通过微分同胚Φ(x) = u(x) + x进行测度变换，将原始SDE转化为具有有界跳跃强度与正则系数的SDE，从而建立密度结果。
• 证明依赖于Besov空间中的矩估计与对偶性论证，以控制解的特征函数的L^p范数。