[論文レビュー] Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II

Dylan Airey, Bill Mance+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有理数乗算と加算がカントール級数展開における$Q$-正規性をどのように保つのかを調査し、$Q$-正規であるが$Q$-分布正規でないような計算可能基本列$Q$と実数$x$の存在を証明している。この性質は、すべての有理数線形変換$\tau_{r,s}(x) = rx + s$のもとでも保たれ、このような数の集合はフルハウスドルフ次元を持つ。$Q$および$x$は明示的に計算可能である。

ABSTRACT

We investigate how non-zero rational multiplication and rational addition affect normality with respect to $Q$-Cantor series expansions. In particular, we show that there exists a $Q$ such that the set of real numbers which are $Q$-normal but not $Q$-distribution normal, and which still have this property when multiplied and added by rational numbers has full Hausdorff dimension. Moreover, we give such a number that is explicit in the sense that it is computable.

研究の動機と目的

• 有理数線形変換$\tau_{r,s}(x) = rx + s$の下での$Q$-正規性および$Q$-分布正規性の不変性を調査すること。
• すべての有理数$\tau_{r,s}$に対して不変であるような基本列$Q$が存在するかを特定すること。
• フルハウスドルフ次元を持つような集合を構成し、その大きさと構造的頑健性を示すこと。
• 構成された$Q$および$x$が計算可能であることを保証し、明示的かつアルゴリズム的に定義可能な例を提供すること。
• 古典的な基数$b$正規性を超えて、カントール級数展開における有理数加算および乗算が正規性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 計算可能数列$n_i$、$l_i$、$L_i$を用いて、$i^{\lfloor \log i \rfloor}$および階乗に基づく桁集合から導かれる基本列$Q = (q_n)$を構築する。
• 整数$\mod i!$の計算可能部分集合$\mathcal{L}_i$から選ばれた桁$E_n$を用いて、実数$\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$を定義する。
• $Q$の構造を用いて、有理数加算$s$および乗算$r$が有限個の桁しか影響しないようにし、正規性の性質を保つようにする。
• 桁頻度の組合せ的推定と$o(1)$-漸近的解析を用い、非正規文字列の数が無視できるほど少ないことを示す。
• 正規文字列の数が漸近的に$\frac{n_i \ell_i}{i^k}(1 + o(1))$であることを確立し、$\tau_{r,s}$のもとでの$Q$-正規性を保証する。
• $Q$および桁$E_n$を計算するチューリングマシンを構築し、$Q$および実数$\eta$の計算可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有理数線形変換$\tau_{r,s}(x) = rx + s$のもとで不変であるような基本列$Q$が存在するか？
• RQ2 このような数の集合がフルハウスドルフ次元を持つことは可能か？ これはフラクタル的・測度論的意味で「大きい」ことを示唆する。
• RQ3 基本列$Q$および不変集合に属する実数$x$を明示的に構成し、計算可能であることを証明できるか？
• RQ4 分母が任意の$q_n$を割らない有理数加算$s$が$Q$-正規性に与える影響は何か？
• RQ5 結果をカントール級数展開における正規性の順序$k$やその他の一般化された正規性概念に拡張できるか？

主な発見

• すべての有理数変換$\tau_{r,s}(x) = rx + s$のもとで不変であるような基本列$Q$が存在する。
• この$Q$に対して、$Q$-正規だが$Q$-分布正規でない数の集合はフルハウスドルフ次元を持つ。これは、フラクタル的および測度論的意味で「大きい」ことを示している。
• チューリングマシンを用いて$Q$が計算可能であることが示された。これは、$n$番目の基数$q_n$を計算可能であることを意味する。
• 桁$E_n = i!$を満たす特定のインデックスに対して定義される実数$\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$は計算可能であり、不変集合に属する。
• 構成により、有理数加算$s$および乗算$r$が有限個の桁しか影響しないように保証され、$Q$-正規性および非$Q$-分布正規性が保たれる。
• $(\epsilon_i, k)$-正規性に失敗する文字列の数は、$n_i i^{n_i} e^{-n_i^{1/5}}$で抑えられ、全文字列数に比べて無視できるほど少ない。