[論文レビュー] Nuclear spin-lattice relaxation from fractional wobbling in a cone

A.E. Sitnitsky|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2011

Material Dynamics and Properties参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、回転運動が制限された系、特に円すい内でのゆらぎ運動（wobbling in a cone）を対象として、分数階Fokker-Planck方程式を用いた分数階拡散モデルを構築し、核スピン格子緩和を記述する。Bloemberger-Purcell-Pound-Solomon（BPP-Solomon）フレームワークを異常な準拡散に拡張し、モデルが実験的に観測された緩和率のラーモア周波数依存性（べき乗則）を自然に再現することを示した。分数階指数は、通常の拡散行動からの逸脱を制御する。

ABSTRACT

We consider nuclear spin-lattice relaxation rate resulted from a fractional diffusion equation for anomalous rotational wobbling in a cone. The mechanism of relaxation is assumed to be due to dipole-dipole interaction of nuclear spins and is treated within the framework of the standard Bloemberger, Purcell, Pound - Solomon scheme. We consider the general case of arbitrary orientation of the cone axis relative the magnetic field. The BPP-Solomon scheme is shown to remain valid for systems with the distribution of the cone axes depending only on the tilt relative the magnetic field but otherwise being isotropic. We consider the case of random isotropic orientation of cone axes relative the magnetic field taking place in powders. Also we consider the case of their predominant orientation along or opposite the magnetic field and that of their predominant orientation transverse to the magnetic field which may be relevant for, e.g., liquid crystals. Besides we treat in details the model case of the cone axis directed along the magnetic field. The latter provides direct comparison of the limiting case of our formulas with the textbook formulas for ordinary isotropic rotational diffusion. We show that the present model enables one to obtain naturally the well known power law for Larmor frequency dependence of the spin-lattice relaxation rate. The latter is observed in some complex systems. From this law the dependence of the fractional diffusion coefficient on the fractional index is obtained to have a rather simple functional form. The dependence of the spin-lattice relaxation rate on the cone half-width for the case of ordinary rotational diffusion yields results similar to those predicted by the model-free approach.

研究の動機と目的

• 回転拡散が異常である系に、スピン格子緩和のBPP-Solomon理論を拡張すること。
• 特に磁場に対して任意の角度をとる円すい軸を有する場合を含め、分数階円すい内ゆらぎにおける核スピン格子緩和の形式的枠組みを構築すること。
• 分数階モデルの極限（$\alpha = 1$）として、通常の等方的拡散の既知の結果を回復すること。
• 複雑系（タンパク質や液晶など）で観測されるべき乗則緩和行動を捉える、現象的かつ解析的に取り扱いやすいフレームワークを提供すること。

提案手法

• 時間微分の階数が $\alpha$（$0 < \alpha \leq 1$）である分数階拡散方程式（FDE）を、円すい内での異常回転拡散を記述するために定式化する。
• 標準的なBPP-Solomonスキームを、FDEから導出された分数階相関関数を組み合わせることで、双極子-双極子緩和に適用する。
• 一般の円すい軸の方向を検討：等方的パウダー的分布、磁場に沿ってまたは垂直に整列、および軸方向整列の特殊ケース。
• WangとPecoraの円すい内ゆらぎモデルを用い、分数階ダイナミクス下での角度分布関数をFDEで解く。
• 関連陪多項式関数とデルタ関数を用いて、特定のケースにおいてスペクトル密度関数と緩和率を、円すい角分布の積分によって導出する。
• モデルの妥当性を検証するため、$\alpha = 1$ の極限が、等方的回転拡散の教科書的結果を回復することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BPP-Solomon緩和スキームは、円すい内での分数階（異常）回転拡散を示す系に一貫して拡張可能か？
• RQ2 分数階円すい内ゆらぎモデルは、実験的に観測されたスピン格子緩和率のラーモア周波数依存性（べき乗則）を自然に再現するか？
• RQ3 準拡散領域（sub-diffusive regime）において、緩和率は円すい半頂角と分数階指数 $\alpha$ にどのように依存するか？
• RQ4 等方的回転の極限（$\theta_0 \to \pi$）において、緩和率の挙動はいかなるものか？また、標準的結果に回復するか？
• RQ5 軸方向整列や横方向整列を含む、円すい軸の方向分布が異なる場合、モデルの性能はいかがなものか？

主な発見

• モデルは、複雑系（タンパク質など）で観測されるように、ラーモア周波数依存性 $R_1 \propto \omega^{-\alpha}$（$\alpha < 1$）のよく知られたべき乗則依存性を正確に再現した。
• 分数階拡散係数は、単純な関数形を介して分数階指数 $\alpha$ に依存することが判明し、実験データとの直接比較が可能となった。
• 磁場に沿って円すい軸が整列している場合、$\alpha = 1$ のとき、モデルは正確に標準的な等方的回転拡散の結果に還元され、従来の理論と整合性があることが確認された。
• 円すい半頂角 $\theta_0$ に対する緩和率の依存性は、通常の拡散極限（$\alpha = 1$）におけるモデルフリー手法の予測と一致した。
• 円すい軸の方向が磁場に対して任意であっても、分布が傾き角のみに依存し、それ以外は等方的であれば、形式的枠組みは有効である。
• モデルは、相関時間の分布を必要とせず、1つのパrameter $\alpha$ を介して、通常拡散と異常拡散の間を滑らかに補間する統一的で現象的なフレームワークを提供する。