[論文レビュー] Numerical method for Darcy flow derived using Discrete Exterior Calculus

Anil N. Hirani, K. B. Nakshatrala+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、単体メッシュ上でフラックスと圧力変数を用いてポアソン方程式の混合形を離散化する、座標不変な数値法を用いたダルシー流のための離散外微分計算（DEC）を提示する。この手法は局所的質量保存を保証し、フラックスおよび圧力における最適収束率を達成し、対角的かつ正定値なホッジスターオペレータの離散化により空間的に変化する透水率に対応する。2次元、3次元、および曲面問題において実証された性能を持つ。

ABSTRACT

We derive a numerical method for Darcy flow, hence also for Poisson's equation in mixed (first order) form, based on discrete exterior calculus (DEC). Exterior calculus is a generalization of vector calculus to smooth manifolds and DEC is one of its discretizations on simplicial complexes such as triangle and tetrahedral meshes. DEC is a coordinate invariant discretization, in that it does not depend on the embedding of the simplices or the whole mesh. We start by rewriting the governing equations of Darcy flow using the language of exterior calculus. This yields a formulation in terms of flux differential form and pressure. The numerical method is then derived by using the framework provided by DEC for discretizing differential forms and operators that act on forms. We also develop a discretization for spatially dependent Hodge star that varies with the permeability of the medium. This also allows us to address discontinuous permeability. The matrix representation for our discrete non-homogeneous Hodge star is diagonal, with positive diagonal entries. The resulting linear system of equations for flux and pressure are saddle type, with a diagonal matrix as the top left block. The performance of the proposed numerical method is illustrated on many standard test problems. These include patch tests in two and three dimensions, comparison with analytically known solution in two dimensions, layered medium with alternating permeability values, and a test with a change in permeability along the flow direction. We also show numerical evidence of convergence of the flux and the pressure. A convergence experiment is also included for Darcy flow on a surface. A short introduction to the relevant parts of smooth and discrete exterior calculus is included in this paper. We also include a discussion of the boundary condition in terms of exterior calculus.

研究の動機と目的

• 局所的質量保存と幾何的不変性を保つダルシー流の数値法を開発すること。
• 非一様で空間的に変化する透水率を扱えるように、離散外微分計算（DEC）を拡張すること。
• 2次元、3次元、および曲面において、内在的なメッシュベースの離散化を用いてダルシー流を統一的に定式化すること。
• 標準的なテスト問題において、フラックスおよび圧力変数の両方で最適収束率を示すことを証明すること。
• 有限要素外微分計算と整合性を持ち、将来の非対称透水率への拡張に対応できるフレームワークを確立すること。

提案手法

• ダルシー流の支配方程式を外微分計算を用いて再定式化し、フラックスを微分形式として、圧力を0-形式として表現する。
• 離散外微分計算（DEC）を適用して微分形式および演算子を離散化し、ストークスの定理を含むトポロジカルおよび幾何的性質を保持する。
• 空間的に変化する透水率に対応するための、ホッジスターオペレータの新しい離散化を考案し、正の要素を持つ対角行列をもたらす。
• フラックスを辺（または面）に関連付け、圧力を頂点（または細胞）に関連付けるステaggeredメッシュペアを用いることで、局所的質量保存を保証する。
• 得られる線形方程式系は、対角的で正の上左ブロックを持つ鞍型系であり、効率的な解法戦略が可能である。
• 境界条件は外微分計算の言語を用いて実装され、下位の幾何的構造と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DECに基づく手法は、一般の単体メッシュ上でのダルシー流において、フラックスおよび圧力の両方で最適収束率を達成できるか？
• RQ2 非一様で空間的に変化する透水率に対応するため、ホッジスターオペレータを正の対角構造を保ちながらどのように離散化できるか？
• RQ3 DECフレームワークを曲面に拡張でき、埋め込み依存の計算に依存せずにダルシー流を扱えるか？
• RQ4 不連続または非対称透水率が存在する状況でも、この手法は局所的質量保存を維持するか？
• RQ5 標準的なベンチマーク問題において、DECに基づく手法は、標準的な有限要素法や有限体積法と比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 2次元および3次元のすべての標準的パッチテストに合格し、一貫性と安定性が確認された。
• フラックスおよび圧力の両方で数値的収束が観察され、曲面上での収束実験により最適収束率が裏付けられた。
• 非一様透水率に対する離散ホッジスターは対角的で正の要素を持つため、良好に条件付けられた線形方程式系が保証された。
• DECにおける正確な離散ストークスの定理のおかげで、構成上局所的質量保存が維持された。
• 定式化は内在的かつ座標不変であるため、埋め込み依存の修正なしに、半球のような曲面にも直接適用可能である。
• 積層的な媒体（交互に透水率が変化する）や、流れ方向に透水率勾配がある流れに対しても、頑健な性能を示した。