[論文レビュー] Observations on non-commutative field theories in coordinate space

David Berenstein, Robert G. Leigh|ArXiv.org|Feb 22, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非可換場の理論を直接的に位置空間相関関数を計算可能にするために、座標空間における擬似局所的でゲージ不変な演算子を導入する。UV/IR混合と次元削減が、相関関数内の双極子的特異性から自然に生じることを示し、非局所性を明らかにし、非可換な設定における標準的ウィルスン型正則化の破綻を挑戦する。

ABSTRACT

We discuss non-commutative field theories in coordinate space. To do so we introduce pseudo-localized operators that represent interesting position dependent (gauge invariant) observables. The formalism may be applied to arbitrary field theories, with or without supersymmetry. The formalism has a number of intuitive advantages. First it makes clear the appearance of new degrees of freedom in the infrared. Second, it allows for a study of correlation functions of (composite) operators. Thus we calculate the two point function in position space of the insertion of certain composite operators. We demonstrate that, even at tree level, many of the by now familiar properties of non-commutative field theories are manifest and have simple interpretations. The form of correlation functions are such that certain singularities may be interpreted in terms of dimensional reduction along the non-commutative directions: this comes about because these are theories of fundamental dipoles.

研究の動機と目的

• 非可換場の理論における座標空間形式を構築し、ゲージ不変で位置依存の観測量の研究を可能にする。
• UV/IR混合による標準的ウィルスン型正則化の破綻を、非可換場の理論において理解すること。
• 新しい赤外自由度の出現と合成演算子の非可換ダイナミクスにおける役割を明確化すること。
• 非可換場の理論における合成演算子の相関関数を、木レベルで計算するための枠組みを提供すること。
• 非可換場の理論の特異性と非可換方向への次元削減の間の関係を確立すること。

提案手法

• 非可換空間上の積分として擬似局所的演算子を構築し、スメアリング関数をゲージ不変に一般化することで、可換理論における局所的演算子を一般化する。
• ゲージ変換の下で随伴表現に変換する covariantized 座標 $\hat{x}^\mu = x^\mu + b^{\mu\nu}A_\nu$ を用いて、ゲージ不変な観測量を定義する。
• スター積とリー代数の構造を用いて非可換場のダイナミクスを定義し、場がゲージ群の左/右モジュールまたはバイモジュールに変換することを記述する。
• 接続と場強度を記述するための共変微分 $D_j\phi = \partial_j\phi - i[A_j, \phi]$ と曲率 $F_{23}$ を導出する。
• 位置空間における2点相関関数を計算する応用を行い、非可換方向に長距離相関が生じることを明らかにする。
• 相関関数内の特異性を、理論の基本的双極子的構造に起因する次元削減の兆候として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換場の理論において、ゲージ不変で位置依存の観測量を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 合成演算子は非可換場の理論においてどのような役割を果たし、その相関関数はどのように新しい物理を明らかにするか？
• RQ3 なぜ標準的ウィルスン型正則化は非可換場の理論で失敗するのか？何に置き換えられるのか？
• RQ4 位置空間における相関関数の特異性は、UV/IR混合と次元削減とどのように関係するか？
• RQ5 非可換場の理論の双極子的性質は、相関関数の構造から直接的に観察できるか？

主な発見

• 合成演算子の2点関数は、非可換方向では大距離で特異性を示し、可換方向では短距離で特異性を示す。これは長距離相関を示唆する。
• これらの特異性は、理論の基本的双極子的性質に起因する非可換方向への次元削減の証拠であると解釈される。
• 木レベルでもUV/IR混合と非局所性が明確に現れ、非可換場の理論が標準的意味でのウィルスン型ではないことを示している。
• covariantized 座標 $\hat{x}^\mu$ はゲージ不変な観測量を構築する基盤をなしており、$[\hat{x}_2, \hat{x}_3] = ib(1 - bF_{23})$ を満たし、ゲージ場の曲率を符号化する。
• 多トレース演算子は、補助場を導入しない限り局所的作用として書けず、これは双対重力記述における閉じたスレッド状態として解釈される。
• この形式は自然に超対称性とゲージ対称性を含み、物質場のスピンは左/右モジュール表現を持つクワイバーダイアグラムに対応する。