[논문 리뷰] Occupation times of refracted L evy processes with jumps having rational Laplace transform

Lan Wu, Jiang Zhou|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이전의 굴절 레비 과정에 대한 연구를 확장하여, 라플라스 변환의 분수형 구조를 가진 점프를 갖는 과정을 분석한다. 이는 가우시안 성분이 없는 경우를 포함한다. 새로운 분석 기법을 도입하여 점유 시간에 대한 새로운 항등식을 도출하였으며, 이는 모든 레비 과정에 대해 일반적으로 성립할 것으로 추측되며 향후 연구에 기초가 될 수 있다.

ABSTRACT

We extend our previous research in Zhou and Wu (2015) to more general jump diusion processes, whose jumps have rational Laplace transform. We also consider a refracted L evy process without Gaussian component, which has not been investigated in Zhou and Wu (2015) and under which some interesting results are obtained. We remark that this extension is non-trivial. Actually, to derive our main results in this paper, we should make some modications on the approach used in Zhou and Wu (2015). We have to say that the modied method is so novel that some important equations can be obtained without much eort. In addition to deriving formulas that can be used to compute the expectation of the total time of deducting fees as in Zhou and Wu (2015), we also obtain a very interesting identity. We conjecture that this identity holds for an arbitrary L evy process, and we believe that this identity will play an important role in the research on occupation times of refracted L evy processes.

연구 동기 및 목표

• 이전의 굴절 레비 과정에서의 점유 시간 결과를 분수형 라플라스 변환을 갖는 점프 분포로 일반화하기.
• 가우시안 성분이 없는 굴절 레비 과정을 연구하기. 이는 이전 연구에서 다루지 않은 경우이다.
• 핵심 결과를 보다 효율적으로 유도할 수 있도록 개선된 분석 접근법을 개발하기.
• 모든 레비 과정에 대해 일반적으로 성립할 것으로 추측되는 점유 시간에 대한 새로운 항등식을 수립하기.
• 수수료 공제 기간 동안의 기대 총 시간을 계산하는 공식을 제공하여 이전의 계산 도구를 확장하기.

제안 방법

• 주와 우(2015)의 분석 프레임워크를 수정하여 분수형 라플라스 변환을 갖는 점프를 수용하도록 적용하기.
• 변동 이론과 척도 함수 도구를 활용하여 굴절 레비 과정의 점유 시간을 분석하기.
• 위너-홉프 분해 기법의 정교한 응용을 통해 점유 시간에 대한 새로운 항등식을 유도하기.
• 라플라스 변환의 분수형 구조를 활용하여 핵심 적분미분방정식을 단순화하고 해를 구하기.
• 경로 분해와 굴절 과정과 그 기초가 되는 레비 과정 간의 관계를 수립하기.
• 새로운 방법을 적용하여 수수료 공제 메커니즘 하에서의 기대 점유 시간에 대한 명시적 표현을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 굴절 레비 과정의 점유 시간 분석을 분수형 라플라스 변환을 갖는 점프 분포로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 가우시안 성분이 없는 굴절 레비 과정을 다루기 위해 어떤 새로운 분석 도구가 필요한가?
• RQ3 모든 레비 과정에 대해 일반적으로 성립하는 점유 시간에 대한 보편적 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 수정된 방법은 주와 우(2015)에서 사용된 접근법보다 어떻게 향상되는가?
• RQ5 새로운 항등식은 굴절 레비 과정 분야의 향후 연구에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 분수형 점프 분포를 갖는 굴절 레비 과정에서 점유 시간 결과를 효율적으로 도출할 수 있는 새로운 분석 기법이 개발되었다.
• 수수료 공제 기간 동안의 기대 총 시간을 계산하는 명시적 공식이 도출되었으며, 이는 이전의 계산 도구를 확장한 것이다.
• 모든 레비 과정에 대해 일반적으로 성립할 것으로 추측되는 점유 시간에 대한 새로운 항등식이 확인되었다.
• 이 항등식은 수정된 방법에서 자연스럽게 유도되며, 점유 시간 분포의 깊은 구조적 성질을 시사한다.
• 이 방법은 가우시안 성분이 없는 굴절 레비 과정을 성공적으로 다루었으며, 새로운 분석 통찰을 드러냈다.
• 결과적으로, 분수형 라플라스 변환의 구조가 점유 시간 분석에서 상당한 단순화를 가능하게 한다는 것이 입증되었다.