[論文レビュー] Off-shell Partition Functions in 3d Gravity

Lorenz Eberhardt|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、3次元チラル重力のオフシェル分離関数を、$Σ \times S^1$ の形をした多様体上で、幾何的量子化と同変コhomologyを用いて計算する手法を開発する。非振動的部品（「フェイク分離関数」と呼ばれる）のための位相的再帰的関係を確立し、局所化を用いて低 genus において正確な結果を提示する。これにより、同変局所化に基づく新たな道筋が、JT重力の分離関数の計算に開かれる。

ABSTRACT

We explore three-dimensional gravity with negative cosmological constant via canonical quantization. We focus on chiral gravity which is related to a single copy of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ Chern-Simons theory and is simpler to treat in canonical quantization. Its phase space for an initial value surface $Σ$ is given by the appropriate moduli space of Riemann surfaces. We use geometric quantization to compute partition functions of chiral gravity on three-manifolds of the form $Σ imes \mathrm{S}^1$, where $Σ$ can have asymptotic boundaries. Most of these topologies do not admit a classical solution and are thus not amenable to a direct semiclassical path integral computation. We use an index theorem that expresses the partition function as an integral of characteristic classes over phase space. In the presence of $n$ asymptotic boundaries, we use techniques from equivariant cohomology to localize the integral to a finite-dimensional integral over $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$, which we evaluate in low genus cases. Higher genus partition functions quickly become complicated since they depend in an oscillatory way on Newton's constant. There is a precise sense in which one can isolate the non-oscillatory part which we call the fake partition function. We establish that there is a topological recursion that computes the fake partition functions for arbitrary Riemann surfaces $Σ$. There is a scaling limit in which the model reduces to JT gravity and our methods give a novel way to compute JT partition functions via equivariant localization.

研究の動機と目的

• 古典的解をもたないトポロジー、すなわち3次元重力におけるオフシェル分離関数の重力的経路積分を計算すること。
• 漸近的境界を持つ $χ(\Sigma) \times S^1$ 多様体に基づくチラル重力の正準量子化フレームワークを構築すること。
• 幾何学的および同変コhomological技法を用いて、分離関数の非振動的部品（「フェイク分離関数」として呼ばれる）を分離・計算すること。
• 任意の genus のリーマン多様体 $\Sigma$ に対してフェイク分離関数を計算する位相的再帰を確立すること。
• スケーリング極限を通じてJT重力の分離関数を回復し、それらの計算に新たな局所化に基づく手法を提供すること。

提案手法

• チラル重力の正準量子化を用い、これは単一の $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ チャーン・サイモンズ理論に還元される。これにより、位相空間をリーマン多様体のモジュライ空間として定義する。
• 幾何的量子化を適用し、$\Sigma$ に関連するヒルベルト空間上のトレースとして分離関数を計算する。これは、$\Sigma \times S^1$ 上に古典的解が存在しない場合でも可能である。
• インデックス定理を用いて、分離関数を位相空間上の特性類の積分として表現し、正確な計算を可能にする。
• 同変コhomologyを用いて、積分をコンactifiedモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の有限次元積分に局所化する。特に低 genus において有効である。
• 分離関数の非振動的部品として「フェイク分離関数」を導入し、スケーリング極限を用いて分離し、位相的再帰を用いて計算する。
• 任意の genus $g$ および $n$ 個の漸近的境界を持つ $\Sigma$ に対してフェイク分離関数を計算する再帰公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Sigma \times S^1$ の時空多様体上に古典的解が存在しない場合、3次元重力におけるオフシェル分離関数はどのように計算できるか？
• RQ2 3次元チラル重力における分離関数の非振動的部品の明確な数学的構造は何か？ そして、どのように分離可能か？
• RQ3 任意のリーマン多様体 $\Sigma$ に対してフェイク分離関数を計算するための位相的再帰を定式化できるか？
• RQ4 提案手法はスケーリング極限において既知のJT重力の結果をどのように回復するか？
• RQ5 同変コhomologyおよび特性類は、分離関数の積分を有限次元空間に局所化する役割を果たすか？

主な発見

• フェイク分離関数は、分離関数の非振動的部品として分離され、ニュートン定数に振動的依存を示す。
• 任意の genus $g$ および $n$-境界リーマン多様体 $\Sigma$ に対してフェイク分離関数を計算する位相的再帰が確立され、既知の結果を一般化する。
• 低 genus において、局所化を用いてフェイク分離関数を正確に計算し、$g=2$ および $n=1$ に対して $\mathscr{L}^k$ のセクションのヒルベルト級数を用いて明示的な表現が得られる。
• コンパクト化されたモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_2$ 上の $\mathscr{L}^k$ の正則セクションの空間のヒルベルト級数は、$\frac{1}{1-t}\left(\frac{1}{(1-t^2)(1-t^3)(1-t^5)} - \frac{t}{(1-t^4)(1-t^6)(1-t^{12})}\right)$ として計算される。
• チラル重力のスケーリング極限はJT重力に還元され、本手法によりJT分離関数の新たな局所化に基づく計算が可能になる。
• セクションの環 $\mathscr{L}^k$ は $\alpha = A$, $\beta = B$, $\gamma = AB - 3C$, および $\delta = D$ によって生成され、制約条件 $k = m + 2n + 3p + 5q$ および $m \leq 2n + 3p + 7q$ が成り立つ。