[論文レビュー] On 321-avoiding permutations in affine Weyl groups

R. M. Green|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、型 $\tilde{A}_{n-1}$ のアフィンウェイル群において、321を避ける置換は完全に可換な要素とちょうど一致することを確立している—つまり、その短いブレード関係によって接続された標準的表現を持つものである。さらに、これらの要素がカジマント・ルシュチグの両側セルの和集合をなしており、関連するヘッケ代数のカジマント・ルシュチグ基底における構造定数の組み合わせ的計算を可能にしている。

ABSTRACT

We introduce the notion of 321-avoiding permutations in the affine Weyl group $W$ of type $A_{n-1}$ by considering the group as a George group (in the sense of Eriksson and Eriksson). This enables us to generalize a result of Billey, Jockusch and Stanley to show that the 321-avoiding permutations in $W$ coincide with the set of fully commutative elements; in other words, any two reduced expressions for a 321-avoiding element of $W$ (considered as a Coxeter group) may be obtained from each other by repeated applications of short braid relations. Using Shi's characterization of the Kazhdan--Lusztig cells in the group $W$, we use our main result to show that the fully commutative elements of $W$ form a union of Kazhdan--Lusztig cells. This phenomenon has been studied by the author and J. Losonczy for finite Coxeter groups, and is interesting partly because it allows certain structure constants for the Kazhdan--Lusztig basis of the associated Hecke algebra to be computed combinatorially. We also show how some of our results can be generalized to a larger group of permutations, the extended affine Weyl group associated to $GL_n({\Bbb C})$.

研究の動機と目的

• 置換表現を用いて、型 $\tilde{A}_{n-1}$ のアフィンウェイル群における321を避ける置換を定義し、特徴づけること。
• この群において、321を避ける置換と完全に可換な要素との同値性を確立すること。
• 完全に可換な要素の集合が、両側カジマント・ルシュチグセルの和集合をなすことの証明。
• この結果を応用し、カジマント・ルシュチグ基底の構造定数の計算を、取り扱いやすい組み合わせ的問題に還元すること。
• $GL_n(\bbC)$ に関連する拡張アフィンウェイル群へのこの枠組みの一般化。

提案手法

• ルシュチグの実現により、アフィンウェイル群 $W(\tilde{A}_{n-1})$ を $\bbZ$ 上の置換群として実現し、周期性 $w(i+n) = w(i)+n$ と和不変性 $\sum_{t=1}^n w(t) = \sum_{t=1}^n t$ を満たすようにする。
• 生成子 $s_i$ の作用を、$n$ を法とする剰余類に基づいて値をシフトする特定の置換として定義する。
• アフィンウェイル群を含み、$\rho^n = 1$ を満たすシフト作用素 $\rho$ を持つ、拡張アフィンウェイル群 $\tilde{W}$ を導入する。
• 型 $\tilde{A}_{n-1}$ におけるシの組み合わせ的基準を用いて、完全に可換な要素のセル構造を分析する。
• グリーンとロゾンツィの結果を応用し、$\geq_{LR}$ 順序における完全に可換な要素の閉包性を示し、$w$ が完全に可換でない場合の $C'_w$ の ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-線形包がヘッケ代数における両側イデアルをなすことを示す。
• 完全に可換な要素によってインデックスづけられる canonical basis を持つ商ヘッケ代数を構成し、$z$ が完全に可換である場合に構造定数 $g_{x,y,z}$ の組み合わせ的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $\tilde{A}_{n-1}$ のアフィンウェイル群における321を避ける置換は、完全に可換な要素と一致するか？
• RQ2 $W(\tilde{A}_{n-1})$ における完全に可換な要素の集合は、両側カジマント・ルシュチグセルの和集合として示せるか？
• RQ3 積に完全に可換な要素のみが関与する場合、カジマント・ルシュチグ基底の構造定数をどの程度まで組み合わせ的に計算できるか？
• RQ4 $W(\tilde{A}_{n-1})$ における結果を、$GL_n(\bbC)$ に関連する拡張アフィンウェイル群に拡張できるか？
• RQ5 アフィン型 $A$, $B$, $C$, $D$ に対して一様に定義可能な拡張ジョージ群が存在するか？その場合、型 $A$ で $\tilde{W}$ に特殊化されるか？

主な発見

• アフィンウェイル群 $W(\tilde{A}_{n-1})$ における321を避ける置換は、完全に可換な要素にちょうど一致する。つまり、そのような要素の任意の標準的表現は、短いブレード関係によって接続される。
• アフィンウェイル群 $W(\tilde{A}_{n-1})$ における完全に可換な要素の集合は、シのセル分類とルート系解析を用いて、両側カジマント・ルシュチグセルの和集合として確立された。
• 完全に可換な要素に含まれる異なる両側カジマント・ルシュチグセルの数は、$n$ が奇数のときは $(n+1)/2$、偶数のときは $(n+2)/2$ である。
• これらのセルの完全な代表元の集合は、$0 \to k \to \floor{n/2}$ に対して $s_2 s_4 \cdots s_{2k}$ で与えられ、これは部分が2以下の整数分割に対応する。
• ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-線形包 $\{C'_w : w \notin W_c\}$ は、ヘッケ代数 ${\Cal{H}}(W)$ における両側イデアルをなす。ここで $W_c$ は完全に可換な要素の集合である。
• 商代数 ${\Cal{H}}(W)/J(W)$ は、$w \in W_c$ によってインデックスづけられる canonical basis $">c_w$ を持ち、$z$ が完全に可換である場合に構造定数 $g_{x,y,z}$ の組み合わせ的計算が可能になる。この場合、$g_{x,y,z} \in \bbN[v,v^{-1}]$ が保証される。