[論文レビュー] On a bound for the diameter of Cayley networks of symmetric groups generated by transposition trees

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Interconnection Networks and Systems被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、対称群上の転置木によって生成されるカイリー図の直径の上界を分析し、極値の木に対してその鋭さを示し、すべての順列を列挙せずに、よりタイトな直径推定値を計算する多項式時間アルゴリズムを導入することで、計算効率を著しく向上させつつ理論的境界を維持することを示している。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a Cayley graph of the permutation group generated by a transposition tree $T$ on $n$ vertices. In an oft-cited paper \cite{Akers:Krishnamurthy:1989} (see also \cite{Hahn:Sabidussi:1997}), it is shown that the diameter of the Cayley graph $\Gamma$ is bounded as $$\diam(\Gamma) \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))},$$ where the maximization is over all permutations $\pi$, $c(\pi)$ denotes the number of cycles in $\pi$, and $\dist_T$ is the distance function in $T$. In this work, we first assess the performance (the sharpness and strictness) of this upper bound. We show that the upper bound is sharp for all trees of maximum diameter and also for all trees of minimum diameter, and we exhibit some families of trees for which the bound is strict. We then show that for every $n$, there exists a tree on $n$ vertices, such that the difference between the upper bound and the true diameter value is at least $n-4$. Observe that evaluating this upper bound requires on the order of $n!$ (times a polynomial) computations. We provide an algorithm that obtains an estimate of the diameter, but which requires only on the order of (polynomial in) $n$ computations; furthermore, the value obtained by our algorithm is less than or equal to the previously known diameter upper bound. This result is possible because our algorithm works directly with the transposition tree on $n$ vertices and does not require examining any of the permutations (only the proof requires examining the permutations). For all families of trees examined so far, the value $\beta$ computed by our algorithm happens to also be an upper bound on the diameter, i.e. $$\diam(\Gamma) \le \beta \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))}.$$

研究の動機と目的

• 転置木によって生成されるカイリー図の直径に関するよく知られた上界の鋭さと厳密さを評価すること。
• 既存の上界がタイトまたは厳密となる木の族を特定すること。
• すべての順列を列挙せずに、転置木の構造のみを用いて直径を推定する計算効率の良いアルゴリズムを開発すること。
• アルゴリズムの出力が常に古典的上界以下であることを証明し、さまざまな木の族に対して既知の境界と同等またはそれを上回ることを示すこと。

提案手法

• 論文は古典的上界を分析する：$\diam(\Gamma) \le \max_{\pi \in S_n} \left\{ c(\pi) - n + \sum_{i=1}^n \dist_T(i, \pi(i)) \right\}$、ここで $c(\pi)$ は順列 $\pi$ のサイクル数を表す。
• 最大および最小直径を持つ木に対して上界をテストすることで、その鋭さを評価し、両ケースで鋭いことが示された。
• 新しいアルゴリズムが提案され、転置木 $T$ のみを用いて直径の推定値 $\beta$ を計算するが、$n$ に関して多項式時間の演算で実行可能である。
• アルゴリズムは順列を全列挙する $n!$ の複雑さを避けるために、木構造そのものに直接作用する。ただし、その正当性の理論的証明は順列解析に依存している。
• 方法論として、$\diam(\Gamma) \le \beta \le \text{古典的上界}$ が確立され、新しい推定値が常に有効であり、場合によってはよりタイトであることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 転置木によって生成されるカイリー図の直径に関する古典的上界は、すべての木のトポロジーに対して鋭いか？
• RQ2 どの木の族において、古典的上界が真の直径よりも厳密に大きいのか？
• RQ3 すべての順列 $S_n$ を列挙せずに、多項式時間で直径推定値を計算できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、計算的に効率的であり、かつ古典的推定値以上に厳密に束縛される値を出力するか？

主な発見

• 古典的上界は、最大および最小直径を持つすべての木に対して鋭い。
• 古典的上界が真の直径よりも厳密に大きい木の族が存在する。
• すべての $n$ に対して、$n$ 個の頂点を持つ木が存在し、古典的上界と真の直径との差が少なくとも $n - 4$ に達する。
• 提案されたアルゴリズムは、全順列列挙の $n!$ の複雑さを避けて、多項式時間で直径推定値 $\beta$ を計算する。
• テストされたすべての木の族に対して、アルゴリズムの出力値 $\beta$ は、計算的に効率的であるだけでなく、$\diam(\Gamma) \le \beta \le \text{古典的境界}$ を満たす有効な上界でもある。