[論文レビュー] On a new integrable discretization of the derivative nonlinear Schrödinger (Chen-Lee-Liu) equation

Takayuki Tsuchida|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 76被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二重Bäcklund–Darboux変換に基づいて導出された新しい離散スペクトル問題を用いたLax対形式による、導関数非線形シュレーディンガー方程式（Chen–Lee–Liu方程式）の新たな可積分な空間離散化を提案する。この手法により、サイト $n-1$、$n$、$n+1$ の3サイト系が得られ、可積分性が保たれるとともに、複素共役還元が可能となり、連続的なChen–Lee–Liu方程式の適切な離散版が得られる。また、このアプローチは光円錐座標におけるマス性Thirring模型の離散化を導き、行列値変数を用いることで多成分一般化も可能となる。

ABSTRACT

We propose a general integrable lattice system involving some free parameters, which contains known integrable lattice systems such as the Ablowitz-Ladik discretization of the nonlinear Schrödinger (NLS) equation as special cases. With a suitable choice of the parameters, it provides a new integrable space-discretization of the derivative NLS equation known as the Chen-Lee-Liu equation. Analogously to the continuous case, the space-discrete Chen-Lee-Liu system possesses a Lax pair and admits a complex conjugation reduction between the two dependent variables. Thus, we obtain a proper space-discretization of the Chen-Lee-Liu equation defined on the three lattice sites $n-1$, $n$, $n+1$ for the first time. Considering a negative flow of the discrete Chen-Lee-Liu hierarchy, we obtain a proper discretization of the massive Thirring model in light-cone coordinates. Multicomponent generalizations of the obtained discrete equations are straightforward because the performed computations are valid for the general case where the dependent variables are vector- or matrix-valued.

研究の動機と目的

• 複素共役を含む可積分偏微分方程式（Chen–Lee–Liu方程式など）の適切な空間離散化を体系的に構築する方法を開発すること。標準的な自己Bäcklund変換では非局所性や符号の曖昧さのため導けない場合がある。
• 不定積分や非局所操作に依存する既存の離散化の制限を克服し、局所的で完全に離散化されたLax対表現を構築すること。
• Chen–Lee–Liu方程式の3サイト可積分格子系を構築し、従属変数間の複素共役還元を維持することで、連続系と整合性を保つこと。
• Lax対の時間発展を変更することで、光円錐座標におけるマス性Thirring模型の離散化を生成する方法を拡張すること。
• すべての計算を行列値またはベクトル値従属変数を前提として初期段階から行うことで、多成分一般化を可能にする。

提案手法

• 本稿では、Ablowitz–Ladik格子の二重Bäcklund–Darboux変換に基づいて、中間的ポテンシャルを固有関数で表現する代わりに、新たな従属変数として扱うことで、新しい離散スペクトル問題を導入する。
• 空間部分（離散スペクトル問題）を等スペクトル時間発展方程式と関連付けることでLax対表現を構築し、その整合性条件から自由パラメータを含む一般可積分格子系が得られる。
• 2つの従属変数間の複素共役還元を離散レベルで課すことにより、パrameter調整後、物理的Chen–Lee–Liu方程式に対応する系が得られる。
• 特定のパラメータ値（例：$\gamma = \alpha$、$\delta = -\beta$、$\alpha\beta = 1$）を選択することで、一般格子系はサイト $n-1$、$n$、$n+1$ におけるChen–Lee–Liu方程式の適切な3サイト離散化に簡約される。
• この手法は階層の負の流れへ拡張され、時間発展方程式を修正することで、光円錐座標におけるマス性Thirring模型の離散化が得られる。
• この枠組みは本質的に多成分である。すべての計算が行列値またはベクトル値従属変数に対して行われるため、高次元系への容易な一般化が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chen–Lee–Liu方程式の適切で局所的かつ3サイトの空間離散化を構築できるか。その際、可積分性と複素共役還元を保つことができるか。
• RQ2 複素数値可積分偏微分方程式の文脈において、標準的自己Bäcklund変換の制限（不定積分や符号の曖昧さ）をどのように克服できるか。
• RQ3 Chen–Lee–Liu系の負の流れを介して、離散可積分階層から光円錐座標におけるマス性Thirring模型の離散版を導出できるか。
• RQ4 中間的ポテンシャルを独立変数として扱うことで、離散Bäcklund–Darboux変換を再定式化し、可積分格子系の体系的構成を可能にするか。
• RQ5 このLax対形式から導かれる離散可積分階層におけるYang–Baxter写像構造の役割は何か。

主な発見

• 自由パrameterの選択により、一般可積分格子系は、NLS方程式のAblowitz–Ladik離散化とChen–Lee–Liu方程式の両方を特別な場合として含む。
• 提案されたChen–Lee–Liu方程式の離散化は、サイト $n-1$、$n$、$n+1$ の3サイトに限定されて定義され、従来の5サイト形式に比べて複雑さが解消される。
• 2つの従属変数間の複素共役還元が可能であり、元の連続的Chen–Lee–Liu方程式と整合性を保つ。
• 離散階層の負の流れを考察することで、光円錐座標におけるマス性Thirring模型の適切な離散化が得られる。
• 行列値従属変数を用いることで、すべての導出が初期段階から一般系として有効であるため、多成分一般化が容易に可能となる。
• 非局所変換の離散版が構築され、Kaup–NewellやAblowitz–Ramani–Segur系などの他の導関数NLS方程式の新たな離散化が導出可能となる。