[論文レビュー] On a notion of anticanonical class for families of convex polytopes

Kiumars Kaveh, Elise Villella|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、代数的群作用に関連する凸多面体族に対して、Ehrhart-Macdonald双対性と多面体代数を用いて、反正則類の組み合わせ的一般化を導入する。反正則仮想多面体が一意に定義され、群のコンパクト化における線分束のチャーン類に対応することを確立し、Gelfand-Zetlin多面体およびNewton-Okounkov多面体を介して、古典的トーリック結果をフラッグ多様体および球的多様体へと拡張する。

ABSTRACT

The purpose of this note is to give a generalization of the statement that the anticanonical class of a (smooth) projective toric variety is the sum of invariant prime divisors, corresponding to the rays in its fan (or facets in its polytope), to some other classes of varieties with algebraic group actions. To this end, we suggest an analogue of the notion of anticanonical class (of a compact complex manifold) for linear families of convex polytopes. This is inspired by the Serre duality for smooth projective varieties as well as the Ehrhart-Macdonald reciprocity for rational polytopes. The main examples we have in mind are: (1) The family of polytopes normal to a given fan (which corresponds to the case of toric varieties). (2) The family of Gelfand-Zetlin polytopes (which corresponds to the case of the flag variety). (3) The family of Newton-Okounkov polytopes for a (smooth) group compactification.

研究の動機と目的

• 滑らかでかつコンパクトなトーリック多様体における反正則類の概念を、群作用を伴うより広いクラスの代数的多様体へ一般化すること。
• Ehrhart-Macdonald双対性を用いて、凸多面体族における反正則類に対応する仮想多面体を定義すること。
• 古典的トーリック結果（反正則類が不変除数の和として表される）をフラッグ多様体、球的多様体、および群コンパクト化へと拡張すること。
• 多面体代数と仮想多面体を用いて、正則類の凸的・組み合わせ的解釈を提供すること。

提案手法

• G-線形化されたピカール群上のフル次元の有理コーン上に、有理凸多面体の線形族を定義する。
• 多面体のEhrhart関数を、線分束の正則切断のヒルベルト関数と一致させる。
• コhomオロジー的および交差理論的構造をモデル化するため、線形族の多面体代数を導入する。
• コーンの内部に属するγに対して、Δ(γ)の相対内部の格子点数がΔ(γ−κ)のそれと等しくなるという条件により、反正則仮想多面体を定義する。
• Gelfand-Zetlin多面体およびNewton-Okounkov多面体の加法性を活用し、表現から多面体への写像を線形に拡張する。
• 反正則仮想多面体の一意性を証明し、群コンパクト化の場合はΔ(1,…,1)として同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでかつコンパクトな群作用付き代数的多様体の反正則類は、多面体を用いた組み合わせ的特徴づけが可能か？
• RQ2 Ehrhart-Macdonald双対性法則を用いて、反正則類を表す仮想多面体を定義できるか？
• RQ3 与えられた凸多面体族において、反正則仮想多面体は一意的か？
• RQ4 Gelfand-Zetlin多面体およびNewton-Okounkov多面体を介して、古典的トーリック結果はフラッグ多様体および群コンパクト化へと拡張可能か？

主な発見

• 線形凸多面体族に対して、反正則仮想多面体が存在するならば、それは一意に定まる。
• 滑らかでWeyl不変ファンを持つ群コンパクト化において、反正則類は線分束L(1,…,1)のチャーン類に対応する。
• 適切な表現を有するすべての(a₁,…,aₛ) ∈ ℤˢに対して、N(Δ(a₁−1,…,aₛ−1)) = N(Δ°(a₁,…,aₛ)) が成り立つ。
• 写像π ↦ Δ(π)は加法的であるため、Δ(π₁⊗π₂) = Δ(π₁) + Δ(π₂) が成り立ち、仮想多面体へと線形に拡張される。
• 正則切断の次元H⁰(XΣ, ℒπ)は、Δ(π)内の格子点数に等しくなる。これはEhrhart対応を確認する。