[論文レビュー] On adaptive low-depth quantum algorithms for robust multiple-phase estimation

Haoya Li, Hongkang Ni+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数の固有値を有する量子位相推定に対して、適応信号処理とランタイム増幅を用いてハイゼンベルク限界スケーリングを達成するロバストな複数位相推定（RMPE）アルゴリズムを提示する。これらのアルゴリズムは整数乗数モデルおよび実数乗数モデルの両方で動作し、最小限のアタシラ・キュービットを要し、初期状態の残留成分に対しても耐性を示し、ギャップが既知の場合には残留エネルギーに比例する係数を有する最適なランタイムスケーリングを達成する。

ABSTRACT

This paper is an algorithmic study of quantum phase estimation with multiple eigenvalues. We present robust multiple-phase estimation (RMPE) algorithms with Heisenberg-limited scaling. The proposed algorithms improve significantly from the idea of single-phase estimation methods by combining carefully designed signal processing routines and an adaptive determination of runtime amplifying factors. They address both the {\em integer-power} model, where the unitary $U$ is given as a black box with only integer runtime accessible, and the {\em real-power} model, where $U$ is defined through a Hamiltonian $H$ by $U = \exp(-2π\mathrm{i} H)$ with any real runtime allowed. These algorithms are particularly suitable for early fault-tolerant quantum computers in the following senses: (1) a minimal number of ancilla qubits are used, (2) an imperfect initial state with a significant residual is allowed, (3) the prefactor in the maximum runtime can be arbitrarily small given that the residual is sufficiently small and a gap among the dominant eigenvalues is known in advance. Even if the eigenvalue gap does not exist, the proposed RMPE algorithms can achieve the Heisenberg limit while maintaining (1) and (2).

研究の動機と目的

• 固有値ギャップが小さいか、存在しない場合の量子位相推定における複数固有値の推定という課題に対処すること。
• 最小限のアタシラ・キュービットと初期状態の不完全性に対するロバスト性を維持しながら、高精度を保つ低深さの量子アルゴリズムを設計すること。
• 最大ランタイムの係数を任意に小さくできるようにしながらも、ハイゼンベルク限界スケーリングの総合的ランタイムスケーリングを達成すること。
• アリゼーションやスペクトル漏れの問題を克服することで、単一位相推定技術を複数位相ケースに拡張すること。
• コherー二ティータイムの制限や不完全な初期状態に対しても耐性を示すことで、早期のフォールトトレラント量子コンピュータを支援すること。

提案手法

• 位相推定の反復的精製を可能にする適応的ランタイム増幅係数を用い、複数固有モード系におけるアリゼーションを回避する。
• ハイブリッド信号処理アプローチを採用：ギャップありの場合はESPRIT、ギャップなしの場合は変更されたラインスペクトル推定を用いる。
• 誤差と分解能を制御するため、パラメータ $ au$, $ ho$, $eta$, $eta-eta$, および $K_1$, $K_2$ を用いて2段階の信号処理サブルーチンを調整する。
• 推定誤差レベル $M_ ext{ℓ}$ に基づいて、信号処理サブルーチン間のランタイム依存的スイッチング機構を導入する。
• 連続的なランタイム制御を可能にする実数乗数モデル $U = e^{-2 au i H}$ を活用し、整数乗数モデルに比べてより細かい分解能を実現する。
• スペクトルギャップが存在しない場合でも信号処理の正確性を保証するため、周波数分離に関する新しい境界を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数位相推定が、アタシラ・キュービットの使用を最小限に抑えつつ、ハイゼンベルク限界スケーリングの総合的ランタイムを達成できるか？
• RQ2 複数固有モードによるアリゼーション効果は、適応的量子位相推定においてどのように軽減できるか？
• RQ3 最大ランタイムをスペクトルギャップに依存させず、最適なスケーリングを維持できるか？
• RQ4 固有値ギャップが任意に小さくても、ロバストな推定を可能にする信号処理技術は何か？
• RQ5 残留状態エネルギーが低深さ量子アルゴリズムにおけるランタイム係数にどのように影響するか？

主な発見

• 提案されたRMPEアルゴリズムは、ギャップありの場合にハイゼンベルク限界スケーリングの総合的ランタイムスケーリング $T_{\text{total}} = \tilde{O}_S(\omega^{-2}\Delta^{-1} + \omega^{-1}\epsilon^{-1})$ を達成する。
• 最大ランタイムは $T_{\text{max}} = O_S(\max\{\omega^{-1}\Delta^{-1}, \omega\epsilon^{-1}\})$ とスケーリングし、残留成分が小さい場合に係数が $ω$ に比例する。
• 初期状態の残留成分に対して $|c_{\text{res}}|^2 \leq \omega < \beta$ を満たす場合に耐性を示し、$ω \approx \beta$ の場合でも正確性を維持する。
• ギャップなしの場合でも、アルゴリズムは依然としてハイゼンベルクスケーリングを達成し、低アタシラ数と残留成分耐性を保つ。
• ハイブリッド信号処理戦略により、すべての固有値が真値の $ε$-ボール内に推定される確率が $1 - \rho$ 以上となる。
• $\u03c9$ が十分に小さく、事前にスペクトルギャップが分かっている場合には、$T_{\text{max}}$ の係数を任意に小さくできる。