[論文レビュー] On algebraic 1-motives related to Hodge cycles

Luca Barbieri-Viale|ArXiv.org|Mar 27, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は特異代数的多様体に対してホッジ1モチーフを導入し、古典的ホッジ予想を一般化するコhomologicalグロテンディーク＝ホッジ予想を提示する。${\cal K}$-cohomologyから重み付きホッジcohomologyへの一般化されたサイクル類写像を構成し、その像が有理ホッジフィルトレーションよりも厳密に小さいことを示しており、特異な設定における代数的サイクルとホッジサイクルの間のギャップを明らかにしている。

ABSTRACT

The goal of this paper is to introduce Hodge 1-motives of algebraic varieties and to state a corresponding cohomological Grothendieck-Hodge conjecture, generalizing the classical Hodge conjecture to arbitrarily singular proper schemes.

研究の動機と目的

• 特異な完全なスキームのためのホッジ1モチーフを定義し、滑らかでない多様体にまで古典的ホッジ予想を拡張すること。
• 1モチーブ的構造を用いて特異代数的多様体のコhomologicalグロテンディーク＝ホッジ予想を定式化すること。
• ${\cal K}$-cohomologyと重みフィルトレーションを用いて、特異cohomologyにおける代数的定義のサイクル類とホッジサイクルの乖離を分析すること。
• 例を通じて、${\cal K}$-cohomologyからのサイクル写像の像が、$H^{2p+i}$上の有理ホッジフィルトレーション$F^p$よりも厳密に小さいことを示すこと。

提案手法

• 特異cohomology上の混合ホッジ構造と重みフィルトレーションを用いて、代数的および解析的にホッジ1モチーブを構成する。
• 1モチーブの理論を用いて、$H^{2p+i}(X,\mathbb{Z}(p))$内のタイプ$(-1,0)$、$(0,-1)$、$(0,0)$の部分ホッジ構造を代数的に実現する。
• 滑らかな単体的ハイパーカバレッジ$X_{\bullet} \to X$による普遍的なcohomological降下を用いて、$H^2(X,\mathbb{Z})$の代数的不変量としてN\'eron-Severi群$\mathrm{NS}(X_{\bullet})$を定義する。
• ${\cal K}$-cohomologyから$W_{2p}H^{2p+i}/W_{2p-2}$への一般化されたサイクル類写像を導入し、モチーフcohomologyとホッジ理論的部分商を結びつける。
• Lerayスペクトル系列と混合ホッジ層のザリスキcohomologyを用いて、ホッジサイクルの局所から大域への性質を研究する。
• $H^4(X,\mathbb{Z})$におけるホッジ構造の拡張類を分析し、非トーショントルのアーベル＝ジャコビ像によって生じる非分解拡張を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1モチーブ的構造を用いて、特異な完全なスキームに対して古典的ホッジ予想を一般化できるか？
• RQ2 ${\cal K}$-cohomologyからの一般化されたサイクル類写像の像が、$H^{2p+i}$上の有理ホッジフィルトレーション$F^p$よりも厳密に小さいか？
• RQ3 ホッジ1モチーブは、N\'eron-Severi群が不十分な場合に特異多様体のcohomologyの代数的部品をどのように特定するか？
• RQ4 アーベル＝ジャコビ写像は、特異cohomologyにおける代数的サイクルとホッジサイクルを区別する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $H^4(X,\mathbb{Z})$の1モチーブ的部品が、中間ジャコビアンが非自明なアーベル部分多様体を持たない場合でも、ジャコビアンへの写像の核として実現可能か？

主な発見

• ${\cal K}$-cohomologyから$W_{2p}H^{2p+i}/W_{2p-2}$への一般化されたサイクル類写像の像は、$H^{2p+i}$上の有理ホッジフィルトレーション$F^p$よりも厳密に小さいことが示され、特異な設定における根本的な障害を示している。
• スリニヴァスの例では、$H^4(X,\mathbb{Z})/W_3$におけるホッジ類の格子は、完全なホッジ類の群よりも厳密に小さく、$(\overline{\alpha},0)$の像によって生成されるランク1である。
• $H^3(Z,\mathbb{Z}) \to H^4(X,\mathbb{Z}) \to \ker s$のホッジ構造の拡張類は非トーショントルであり、$i^*\alpha$のアーベル＝ジャコビ像によって検出され、拡張が非分解であることを証明している。
• $H^4(X,\mathbb{Z})$の1モチーブ的部品は$\ker(\mathbb{Z}^3 \to J^2(Z))$に同型であり、これは完全なホッジ類の群よりも厳密に小さい。
• $\mathrm{NS}(X_{\bullet})$は、滑らかな単体的ハイパーカバレッジの選択に依存せず、単体的ラインバンドルを介して$F^1 \cap H^2(X,\mathbb{Z})$を捉えている。
• 代数的に定義された1モチーブは$H^0((NS^2)^\bullet)$の像によって生成され、これは$\ker(\mathbb{Z}^3 \to J^2(Z))$に同型に写像する。これにより、Conjecture 2.3.4における予想的な記述が確認された。