[논문 리뷰] On automorphisms of blowups of projective manifolds

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 21.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 이상의 사영 다중체의 블로우업에서의 자명형을 조사하며, 이러한 자명형이 영(topological entropy)을 가질 조건에 초점을 맞춘다. 풍부한 코homology 클래스의 비영 조건을 사용하여, 피카르 수가 1이거나 파노 또는 하이퍼-카일러 구조를 가진 다중체의 유한한 블로우업에 대해, 특히 중심이 dim(X₀)−2 이하의 차원을 가질 경우, 모든 자명형은 영 엔트로피를 가지거나 코homologically hyperbolic일 수 있음을 보여주며, 이러한 다중체의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we mainly study the following question: For what projective manifold $X$ of dimension $\geq 3$ that any $f\in Aut(X)$ has zero topological entropy? Using some non-vanishing conditions on nef cohomology classes, we study the case where $X ightarrow X_0$ is a finite blowup along smooth centers, here $X_0$ is a projective manifold of interest. Here we allow $X_0$ to be either one of the following manifolds: it has Picard number 1, or a Fano manifold, or it is a projective hyper-Kähler manifold. We also allow the centers of blowups to have large dimensions relative to that of $X_0$ (may be upto $dim(X_0)-2$). Explicit constructions are given in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}, where we also show that the assumptions in the results in that section are necessary (see Example 6 in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}). As a consequence, we obtain new examples of manifolds $X$, whose any automorphism is either of zero topological entropy or is cohomologically hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• 3차원 이상인 사영 다중체 X에 대해 모든 자명형이 영 최상위 엔트로피를 가지는 조건을 규명하는 것.
• X₀가 파노, 피카르 수가 1이거나 하이퍼-카일러 다중체일 경우, 매끄러운 중심에 沿한 유한한 블로우업에서 자명형의 행동을 분석하는 것.
• 자명형이 영 엔트로피 또는 코homologically hyperbolic일 조건을 결정하기 위해 풍부한 코homology 클래스의 비영 조건(A(r,0), B(r,0))을 기반으로 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 정리의 가정이 필수적임을 보여주는 명시적 예를 제시하여 결과의 날카로움을 입증하는 것.

제안 방법

• 최상위 엔트로피와 첫 번째 동적 차수 λ₁(f) 사이의 관계를 Gromov-Yomdin 정리로 연결하여, h_top(f) > 0일 필요충분조건이 λ₁(f) > 1임을 보임.
• 풍부한 코homology 클래스에 대한 비영 조건 A(r,0) 및 B(r,0)를 적용하여 자명형이 코homology에 미치는 영향을 제약함.
• H^{1,1}(X)에서의 f*의 역행사와 동적 차수의 로그-볼록성(log-concavity)을 이용해 스펙트럼 반경 제약을 유도함.
• 블로우업에서의 Poincaré 대칭성과 교차 이론을 활용하여, 풍부한 클래스 ζ에 대해 ζ^{k-1} 및 ζ^{k-2}의 cup 곱의 비퇴화성(non-degeneracy)을 연구함.
• 섹션 2에서 가정의 필수성을 보여주는 명시적 예를 제작하며, dim(V) = 0,1,2,3의 경우를 포함함.
• 하이퍼-카일러 다중체에서 ζ^l의 비퇴화성에 관한 Verbitsky의 결과를 활용하여, 0 ≤ p ≤ l에 대해 λ_p(f) = λ₁(f)^p임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영 다중체 X₀에 대해 어떤 조건이 만족될 경우, X₀의 유한한 블로우업 X → X₀의 모든 자명형이 영 최상위 엔트로피를 가지는가?
• RQ2 풍부한 코homology 클래스의 비영 조건(A(r,0), B(r,0) 등)은 블로우업에서 자명형의 동적 차수에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 파노, 피카르 수가 1이거나 하이퍼-카일러 다중체의 유한한 블로우업 중에서 양의 엔트로피를 가진 자명형을 갖는 경우가 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떤 기하학적 조건에서 그러한 경우가 발생하는가?
• RQ4 블로우업의 중심 차원은 자명형이 영 또는 양의 엔트로피를 가지는지 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 풍부한 클래스 ζ에 대해 ζ^{k-1}의 비영 조건이 λ₁(f) = 1, 즉 h_top(f) = 0임을 증명하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 피카르 수가 1이거나 파노 또는 하이퍼-카일러 구조를 가진 사영 다중체 X₀의 유한한 블로우업에 대해, r = k−l−3일 때 비영 조건 A(r,0)가 성립하면, 모든 자명형 f는 h_top(f) = 0을 만족한다.
• 블로우업 중심의 차원이 ≤ dim(X₀)−2일 경우, 비영 조건 B(0,0)가 λ₁(f) = 1을 보장하므로 h_top(f) = 0이다.
• 섹션 2의 명시적 예는 주요 정리의 가정이 필수적임을 보이며, dim(V) ≤ 3일 경우 f(b) = 0 및 g(b) = 0의 해가 존재하지 않음을 보여준다.
• 하이퍼-카일러 다중체의 차원이 2l일 때, ζ ∈ H^{1,1}_{nef}가 비영이면서 ζ^l ≠ 0이면, 0 ≤ p ≤ l에 대해 λ_p(f) = λ₁(f)^p이며, λ₁(f) = λ₁(f⁻¹)이므로 ζ가 무리수일 경우를 제외하고는 λ₁(f) = 1이다.
• X₀에서 풍부한 클래스 ζ에 대해 ζ^{k−1}의 비영 조건은, 교차 사상이 일반적으로 행동한다고 가정할 경우 λ₁(f) = 1을 이끌어내며, 따라서 h_top(f) = 0이다.
• 이 논문은 모든 자명형이 영 최상위 엔트로피 또는 코homologically hyperbolic인 새로운 다중체 X의 예를 제작하며, 기존 결과를 고차원으로 확장한다.