[論文レビュー] On axiomatic aspects of N=2 vertex superalgebras with odd formal variables, and deformations of N=1 vertex superalgebras

Katrina Barron|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2つの奇数形式変数を用いて、$N=2$ バーテックススーパ algebra に対する厳密な公理的枠組みを提示する。$N=2$ スーパー共形代数を変更されたヤコビ恒等式に埋め込む。$N=2$ バーテックススーパ algebra が1つまたは2つの奇数形式変数を用いる場合と、それらを用いない場合のカテゴリの間の同型を確立し、$N=1$ バーテックススーパ algebra の連続的変形を通じて、$N=2$ スーパー共形幾何と $N=1$ スーパー解析幾何の間の同値性を示している。

ABSTRACT

The notion of "N = 2 vertex superalgebra with two odd formal variables" is presented, the main axiom being a Jacobi identity with odd formal variables in which an N=2 superconformal shift is incorporated into the usual Jacobi identity for a vertex superalgebra. It is shown that as a consequence of these axioms, the N=2 vertex superalgebra is naturally a representation of the Lie algebra isomorphic to the three-dimensional algebra of superderivations with basis consisting of the usual conformal operator and the two N=2 superconformal operators. The notion of N=2 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra with two odd formal variables is introduced, and consequences of this notion are derived. Various other formulations of the notion of N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra appearing in the mathematics and physics literature are discussed, and several mistakes in the literature are noted and corrected. The notion of ``N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one odd formal variable" is formulated. It is shown that this formulation naturally arises from alternate notions of N=1 superconformality and the continuous deformation of an N=1 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one odd formal variable. This notion is formulated to reflect the underlying N=1 superanalytic geometry, and it is shown that the equivalence of the notions of N=2 (Neveu-Schwarz) vertex (operator) superalgebra with one and with two odd formal variables reflects the equivalence of N=2 superconformal and N=1 superanalytic geometry. In particular we prove that the group of formal N=2 superconformal functions vanishing at zero and invertible in a neighborhood of zero is isomorphic to a certain subgroup of N=1 superanalytic functions vanishing at zero and invertible in a neighborhood of zero.

研究の動機と目的

• 2つの奇数形式変数を用いた $N=2$ バーテックススーパ algebra の形式的定式化を、スーパー共形シフトを含むヤコビ恒等式によって行う。
• 文献における $N=2$ バーテックススーパ algebra の数学的定式化における不整合や誤植を是正する。
• 連続的変形を通じて、$N=2$ バーテックススーパ algebra が1つの奇数形式変数を用いる場合と $N=1$ スーパー解析幾何との間の自然な対応を確立する。
• $N=2$ ニェーヴァ・シュヴァルツ バーテックスオペレータ スーパー代数が1つの奇数形式変数を用いる場合のカテゴリが、奇数形式変数を用いない場合のカテゴリと同型であることを証明する。
• 異なる幾何的および代数的設定における $N=2$ バーテックススーパ algebra のさまざまな定式化を統一し、それらの間の同値性を示す。

提案手法

• 2つの奇数形式変数 $\varphi^{(1)}, \varphi^{(2)}$ を用いて、$N=2$ スーパー共形シフトを組み込んだ修正ヤコビ恒等式を導入する。
• 2つの奇数形式変数を用いた $N=2$ ニェーヴァ・シュヴァルツ バーテックスオペレータ スーパー代数を定義し、スーパー共形対称性およびスーパーコミュタティビティを保証する。
• 奇数変数とスーパedelta関数を用いた形式的計算により、バーテックス演算子の成分式を導出する。
• 特に $F_{\varphi=0}$ と $F_{\varphi^{(2)}=0}$ のような、異なる形式変数構造を持つ $N=2$ バーテックススーパ algebra のカテゴリ間の函手を構成し、同型を確立する。
• $N=1$ バーテックススーパ algebra の連続的変形が $N=2$ 代数を生じることを示すことにより、$N=2$ 構造と $N=1$ スーパー共形幾何との関係を特定する。
• 原点で消え、原点近傍で可逆であるような形式的 $N=2$ スーパー共形関数の群が、同じ性質を満たす $N=1$ スーパー解析関数の部分群と同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、奇数形式変数を用いて、$N=2$ スーパー共形代数をバーテックススーパ algebra の公理的構造に自然に組み込むことができるか？
• RQ2 $N=2$ バーテックススーパ algebra が1つまたは2つの奇数形式変数を用いる場合の間の正確な関係は何か？この関係は幾何的同値性をどのように反映するか？
• RQ3 $N=1$ バーテックススーパ algebra の連続的変形が、どのようにして1つの奇数形式変数を用いる $N=2$ バーテックススーパ algebra を生じるか？
• RQ4 ヤコビ恒等式におけるスーパー共形シフトの役割は何か？そして、このシフトがバーテックス演算子の成分の構造をどのように決定するか？
• RQ5 文献に存在する $N=2$（ニェーヴァ・シュヴァルツ）バーテックススーパ algebra のさまざまな定式化は数学的に整合的か？整合的でない場合、どのような是正が必要か？

主な発見

• $N=2$ バーテックススーパ algebra が2つの奇数形式変数を用いる場合、これは、共形演算子および2つの $N=2$ スーパー共形演算子によって生成されるリー超代数の自然な表現である。
• ヤコビ恒等式におけるスーパー共形シフトは、バーテックス演算子の奇数形式変数成分を完全に決定する。
• 1つの奇数形式変数を用いる $N=2$ バーテックススーパ algebra のカテゴリは、函手 $F_{\varphi=0}$ を通じて、奇数形式変数を用いないカテゴリと同型である。
• 1つの奇数形式変数を用いる $N=2$ ニェーヴァ・シュヴァルツ バーテックスオペレータ スーパー代数のカテゴリは、2つの奇数形式変数を用いる場合と同型であり、両者とも標準的な $N=2$ 定式化と同型である。
• 原点で消え、原点近傍で可逆であるような形式的 $N=2$ スーパー共形関数の群は、同じ性質を満たす $N=1$ スーパー解析関数の部分群と同型である。
• 1つの奇数形式変数を用いる定式化は、自然に $N=1$ バーテックススーパ algebra の連続的変形として現れ、$N=2$ スーパー共形幾何と $N=1$ スーパー解析幾何の同値性を確認する。