[論文レビュー] On Certain Spectral Invariants of Dirac Operators on Noncommutative Tori

Ali Fathi, Masoud Khalkhali|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換3次トーラス上のディラック作用素に対して、スペクトルゼータ関数およびエータ関数がゼロで正則であることを確立し、両方のη_D(0)およびζ′_D(0)が共形不変量であることを証明する。コンネスの擬微分作用素計算および標準的トレースを用いて、ゲージ場の摂動におけるη_D(0)の変動に関する局所的公式を導出し、これは量子場理論における誘導されたチチェン・シモンズ項に類似している。

ABSTRACT

The spectral eta function for certain families of Dirac operators on noncommutative $3$-torus is considered and the regularity at zero is proved. By using variational techniques, we show that $η_{D}(0)$ is a conformal invariant. By studying the Laurent expansion at zero of $ ext{TR} (|D|^{-z})$, the conformal invariance of $ζ'_{|D|}(0)$ for noncommutative $3$-torus is proved. Finally, for the coupled Dirac operator, a local formula for the variation $\partial_Aη_{D+A}(0)$ is derived which is the analogue of the so called induced Chern-Simons term in quantum field theory literature.

研究の動機と目的

• 非可換3次トーラス上のディラック作用素に対して、スペクトルエータ関数η_D(z)およびゼータ関数ζ_D(z)がz=0で正則であることを確立すること。
• 変分的技法を用いて、計量の摂動に対するη_D(0)およびζ′_D(0)の共形不変性を調査すること。
• ゲージ場結合に対するη_D(0)の変動に関する局所的公式を導出し、これは量子場理論における誘導されたチチェン・シモンズ項に類似していること。
• 非可換トーラスにおけるコンネスの擬微分作用素計算および標準的トレースの枠組みを、スペクトル不変量の分析に拡張すること。

提案手法

• 非可換トーラス上でのコンネスの擬微分作用素計算を用いて、古典的楕円型作用素およびその記号を定義・分析する。
• コンツェビッチ＝ヴィシクの標準的トレース（TR）を用いて、TR(|D|^{-z})およびTR(D|D|^{-z-1})を通じてスペクトルゼータおよびエータ関数を定義する。
• TR(AQ^{-z})のローレンツ展開を用いて、ζ_D(z)およびη_D(z)がz=0で正則であることを証明する。
• D_t = D + t u* [D,u] の族に対して変分的技法を適用し、η_D(0)の変動をスペクトルフローおよび奇数型局所インデックス公式に関連付ける。
• ゲージ場摂動Aによるη_D(0)の変動に関する局所的公式を、非可換・ヴォズィッチィ・リーゼ（Wodzicki residue）を用いて導出する：∂η_D(0) = τ(tr(γ^μ ∂A_μ β_2))。
• ヒートカーネルの漸近挙動およびリーゼ計算を用いて、ζ′_D(0)の共形変動を計算し、それが共形変更に対して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換3次トーラス上のディラック作用素に対して、スペクトルエータ関数η_D(z)はz=0で正則か？
• RQ2 非可換3次トーラス上の計量の共形摂動に対してη_D(0)は不変か？
• RQ3 非可換3次トーラス上でのスペクトルゼータ関数の微分ζ′_D(0)は共形不変量か？
• RQ4 ゲージ場摂動に対するη_D(0)の変動に関する局所的公式を導出可能か？これは量子場理論における誘導されたチチェン・シモンズ項に類似している。
• RQ5 標準的トレースおよびヴォズィッチィ・リーゼは、非可換幾何学におけるスペクトル不変量の計算をどのように支援するか？

主な発見

• 非可換3次トーラス上のディラック作用素に対して、スペクトルエータ関数η_D(z)はz=0で正則であり、η_D(0)の定義が可能である。
• η_D(0)は計量の共形摂動に対して不変であり、非可換3次トーラスの共形不変量である。
• ζ′_D(0)の微分も、標準的トレースおよびローレンツ展開を用いて、非可換3次トーラス上で共形不変量であることが示された。
• ゲージ場摂動に対するη_D(0)の変動に関する局所的公式が導出された：∂η_D(0) = τ(tr(γ^μ ∂A_μ β_2))、ここでβ_2は2次リーマン密度である。
• η_D(0)の変動がヴォズィッチィ・リーゼを介して表現可能であることが示され、誘導されたチチェン・シモンズ項の非可換類似が確認された。
• この枠組みにより、非可換トーラス上でのスペクトル不変量が標準的トレースおよび擬微分作用素計算を用いて解析可能であることが確認され、古典的結果が非可換設定に拡張された。