[論文レビュー] On Classical Solutions to the Cauchy Problem of the Two-Dimensional Barotropic Compressible Navier-Stokes Equations with Vacuum

Jing Li, Zhilei Liang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、初期密度が無限遠で十分に速く減少し、粘性係数が定数および密度のべき関数である条件下で、真空遠方密度を有する2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、局所的古典的解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、初期密度がコンパクトな台を持つ場合でさえも局所的古典的解が存在することを示したことであり、これはカウチ問題設定における長年の未解決問題を解消するものである。

ABSTRACT

This paper concerns the Cauchy problem of the barotropic compressible Navier-Stokes equations on the whole two-dimensional space with vacuum as far field density. In particular, the initial density can have compact support. When the shear and the bulk viscosities are a positive constant and a power function of the density respectively, it is proved that the two-dimensional Cauchy problem of the compressible Navier-Stokes equations admits a unique local strong solution provided the initial density decays not too slow at infinity. Moreover, if the initial data satisfy some additional regularity and compatibility conditions, the strong solution becomes a classical one.

研究の動機と目的

• 2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、真空遠方密度およびコンパクトに台を持つ初期密度を有する場合の局所的古典的解の存在という未解決問題を解消すること。
• 2次元カウチ問題において、強い解および古典的解が時間全域で存在するための条件を確立すること。
• 従来の有界領域における結果を、真空を伴う非有界全域（\mathbb{R}^2）の設定に拡張すること。
• 初期データに対する適合条件および減少条件を緩和しつつ、古典的解の存在を維持すること。
• 圧縮流体力学における真空状態に起因する特異性を取り扱うための厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 初期データの無限遠における減少を制御するため、重み関数 $\bar{x} = (e + |x|^2)^{1/2} \log^{1+\eta_0}(e + |x|^2)$ を導入する。
• 初期密度 $\rho_0$、速度 $u_0$ およびその導関数に対して、重み付き $L^p$ 空間およびソボレフ空間における減少および正則性条件を課す。
• 切り捨て関数 $\varphi_R$ を用いた局所化技術により、有界球 $B_R$ 上での近似解を構成する。
• エネルギー推定および楕円型正則性を用いて、速度およびその導関数の $L^p$ および $H^1$ ノルムを制御する。
• コンパクト性の議論および部分列における弱収束を用いて、$R \to \infty$ の極限に移行する。
• 有界領域上で構成された近似解の列が、$\mathbb{R}^2$ 上の強い解に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度がコンパクトな台を持ち、無限遠で消える場合に、2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して古典的解が存在しうるか？
• RQ2 初期密度がどの程度の減少率を満たせば、真空を伴う全空間 $\mathbb{R}^2$ において局所的古典的解が存在するか？
• RQ3 粘性係数 $\mu = \text{const}$、$\lambda(\rho) = b\rho^\beta$ が解の存在および正則性に与える影響は何か？
• RQ4 初期データに対する適合条件を緩和しても、依然として古典的解の存在が保証されるか？
• RQ5 初期密度が正から離れていない場合に、カウチ問題設定で局所的古典的解を構成することは可能か？

主な発見

• 初期データに指定された減少および正則性条件の下で、$\mathbb{R}^2 \times (0, T_0]$ 上に2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の唯一の局所的強い解が存在する。
• 初期データに追加の正則性および適合条件が満たされれば、強い解は古典的解に拡張される。
• 初期密度 $\rho_0$ はコンパクトな台を持つことが許容され、$a \in (1,2)$ に対して $\bar{x}^a\rho_0 \in L^1 \cap H^1 \cap W^{1,q}$ が成り立つことで解の存在が保証される。
• パラメータ $\beta \in (0,1)$ の場合、解が古典的であるための必要十分条件として、$\theta_0 < \min\{\beta, 1\}$ を満たす $\bar{x}^{\theta_0}\nabla\lambda(\rho_0) \in L^2 \cap L^q$ が要求される。
• 解は、$\sqrt{\rho}u, \nabla u, \sqrt{t}\sqrt{\rho}u_t \in L^\infty(0,T_0; L^2)$ および $\nabla u \in L^2(0,T_0; H^1)$ を含む、完全な正則性および可積分性推定を満たす。
• 有界領域上で構成された近似解の極限が $\mathbb{R}^2$ 上の古典的解に収束することを示し、真空を伴う全空間上に解が存在することを確認した。